浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-08-12 类型：期末考试

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 二次根式 $\sqrt{x + 1}$ 中字母 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq - 1$ B、 $x > - 1$ C、 $x \geq 0$ D、 $x \geq - 1$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{8} = 4$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = 5$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \sqrt{2}$

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4. $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 5 ∠ D$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、20° B、30° C、40° D、150°

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5. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x = 1$ ，下列变形正确的是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 2)}^{2} = 5$

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6. 用反证法证明命题“在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，求证： $∠ B < 90 °$ ”，应先假设（）

A、 $∠ B \geq 90 °$ B、 $∠ B > 90 °$ C、 $∠ B \neq 90 °$ D、 $A B \neq A C$

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7. 鄞州是诗书之城，据鄞州图书馆年度数据报告，2021年到馆读者134万人次，2023年人数增长至289万，设这两年到馆人数的年平均增长率为 $x$ ，可列方程（）

A、 $134 (1 + 2 x) = 289$ B、 $134 {(1 + x)}^{2} = 289$ C、 $289 {(1 - x)}^{2} = 134$ D、 $134 (1 + x) + 134 {(1 + x)}^{2} = 289$

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8. 甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则 $x$ 的值可能是（）
甲
178
179
180
181
182
乙
180
181
182
183
$x$

A、179 B、182 C、184 D、185

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9. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A (m, y_{1})$ ， $B (m - 1, y_{2})$ ，下列说法一定正确的是（）

A、若 $k > 0$ ， $m > 0$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ B、若 $k > 0$ ， $m < 0$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ C、若 $k < 0$ ， $m > 0$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ D、若 $k < 0$ ， $m < 0$ ，则 $y_{1} > y_{2}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $E$ ， $F$ 是对角线 $A C$ 上的两点， $A E = C F = 2$ ，点 $P$ 在边 $A D$ 上运动（不与点 $A$ ， $D$ 重合），连结点 $P$ 与 $A C$ 的中点 $O$ 并延长交 $B C$ 于点 $Q$ ，连结 $P E$ ， $P F$ ， $Q E$ ， $Q F$ ．在点 $P$ 从点 $D$ 运动到点 $A$ 的整个过程中，四边形 $P E Q F$ 的形状变化依次是（）

A、平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B、平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C、平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D、平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形

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二、填空题（每小题3分，共18分）

11. 一个多边形的内角和360°，则这个多边形的边数为．

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12. 若 $x = 2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + a = 0$ 的一个解，则 $a$ 的值为．

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13. 观察下列各式：① $\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ ；② $\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{3}}$ ；③ $\sqrt{\frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{3}{8}}$ ；④ $\sqrt{\frac{1}{3} (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{4}{15}}$ ；…，则第7个等式是．

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14. 如图，菱形 $A B C D$ 的顶点 $A$ ， $D$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上， $B D ∥ x$ 轴， $A C = 2$ ， $B D = 5$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ，则 $k$ 的值为．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $A B = 4$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 边上的中点，点 $F$ 在 $B C$ 的延长线上， $C F = \frac{1}{2} B C$ ，若 $C F = 3$ ，则 $E F$ 的长为．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点，将 $△ A B D$ 沿直线 $A D$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ，当 $B^{'} D$ 平行于 $△ A B C$ 的一条边时， $B D$ 的长为．

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三、解答题（第1719题各6分，第2022题各8分，第23题10分，共52分）

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{18} \div \sqrt{6} - \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 $(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})$ ．

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18. 解方程：

(1)、 $x^{2} = 3 x$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 3 x - 4 = 0$

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19. 日平均气温是一天中凌晨2点，上午8点，下午2点，晚上8点四个时间的气温的平均值．下表是宁波市2024年5月份16日到25日“日平均气温”统计表（单位：℃）．
日期
16日
17日
18日
19日
20日
21日
22日
23日
24日
25日
日平均气温
20.5
21
22
一
23
22
23
23
25
25
查询得，5月19日4个时间段的气温分别为：19℃，22℃，25℃，20℃．

(1)、求19日的日平均气温．

(2)、这十天的日平均气温的中位数是，众数是．

(3)、气象学意义上进入夏天标准是连续5天“日平均气温”大于或等于22℃，其中五天中首个日平均气温大于等于22℃的日期作为入夏日，请判断2024年的入夏日期．

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20. 如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园 $A B C D$ ．

(1)、如图1，利用墙围成矩形花园 $A B C D$ ，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长：

(2)、如图2，用围栏补墙得到矩形花园 $A B C D$ ，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出 $B C$ 的长；若不能，请说明理由．

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21. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 100 °$ ，点 $P$ 在对角线 $A C$ 上， $P E ∥ B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $P F ∥ A B$ 交 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、求 $∠ E P F$ 的度数；

(2)、连结 $P D$ ，当 $∠ D P C = 60 °$ 时，判断 $P D$ 与 $P F$ 的数量关系并证明．

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22. 综合实践：自制密度秤测量液体密度．
问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点 $O$ 固定不变，左侧托盘固定在点 $A$ ， $O A = 12$ ，托盘上放置质量为50g的砝码；右侧托盘点 $P$ 在 $O B$ 上滑动， $O B = 20$ ，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入 $V m L$ 的不同液体，滑动点 $P$ ，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量 $\times O A =$ 杯中液体的质量 $\times O P$ ．液体的质量 $=$ 液体的密度 $\times$ 体积， $ρ_{水} = 1$ ）
问题解决：

(1)、设右侧托盘液体的密度为 $ρ$ ， $O P$ 的长为 $x$ ，若 $V = 50$ ，求 $ρ$ 关于 $x$ 的函数表达式．并求出 $ρ$ 的取值范围．

(2)、若在纸杯中倒入 $V m L$ 的水时，滑动点 $P$ ，当点 $P$ 到达点 $M$ 处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点 $P$ 从点 $M$ 向右滑动至点 $N$ 处，天平保持平衡．刻度显示：点 $M$ 处的读数正好是点 $N$ 处的读数的 $\frac{3}{4}$ ，求这种液体的密度．

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23. 如图1，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 内部的一点， $D E = D A$ ．连结 $A E$ ， $C E$ ，过点 $C$ 作 $A E$ 的垂线交 $A E$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、猜测 $∠ C E F$ 的度数，并说明理由；

(2)、若 $A E = 2 E F = 4$ ，求正方形 $A B C D$ 的边长；

(3)、如图2，过点 $E$ 作 $A F$ 的垂线交 $C D$ 于点 $H$ ．当 $A F$ 恰好过 $B C$ 的中点 $G$ 时，设正方形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ，用含 $a$ 的代数式表示 $E H$ ．

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日期	16日	17日	18日	19日	20日	21日	22日	23日	24日	25日
日平均气温	20.5	21	22	一	23	22	23	23	25	25

甲	178	179	180	181	182
乙	180	181	182	183	$x$