浙江省丽水市2023-2024学年八年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2024-08-12 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 要使 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义， $x$ 可以取的数是( )

A、 $- 2$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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2. 用一个 $a$ 的值说明命题“若 $a > 0$ ，则 $a^{2} \geq \frac{1}{a}$ ”是错误的，这个 $a$ 的值可以是( )

A、 $2$ B、 $1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 一个多边形内角和的度数不可能的是( )

A、 $180 °$ B、 $270 °$ C、 $360 °$ D、 $540 °$

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4. 已知某蓄电池的电压为定值，电流 $I$ 与电阻 $R$ 满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是( )

A、 $24 V$ B、 $\frac{8}{3} V$ C、 $11 V$ D、 $38 V$

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5. 下列条件，不能判断四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是( )

A、 $A B / / C D$ ， $A B = C D$ B、 $A B = C D$ ， $B C = A D$ C、 $∠ A = ∠ C$ ， $A D / / B C$ D、 $A B / / C D$ ， $∠ A = ∠ B$

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6. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $(- 2,3)$ ，则图象必经过另一点( )

A、 $(2,3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(3,2)$ D、 $(- 2, - 3)$

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7. 在直角坐标系中，点 $A (1, a)$ 和点 $B (b, - 5)$ 关于原点成中心对称，则 $a - b$ 的值为( )

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $- 6$ D、 $6$

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8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x^{2} - m x - m = 0$ 的一个根是 $- \frac{1}{2}$ ，则方程的另一个根是( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $- 1$

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9. 如图，一个转盘被分成 $4$ 等分，每份内均标有数字，旋转这转盘 $5$ 次，得到 $5$ 个数字，经统计这列数的平均数为 $2$ ，下列判断正确的是( )

A、中位数一定是 $2$ B、众数一定是 $2$ C、方差一定小于 $2$ D、方差一定大于 $1$

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是对角线 $B D$ 上一动点， $P E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，记菱形高线的长为 $h$ ，则下列结论： $①$ 当 $P$ 为 $B D$ 中点时，则 $P E = P F$ ； $② P E + P F = h$ ； $③ ∠ E P F + ∠ A = 180 °$ ； $④$ 若 $A B = 2$ ， $∠ E P F = 60 °$ ，连结 $P C$ ，则 $P E + P C$ 有最小值为 $2$ ； $⑤$ 若 $h = 2$ ， $∠ E P F = 60 °$ ，连结 $E F$ ，则 $S_{△ P E F}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2} .$ 其中错误的结论有( )

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 化简 $\sqrt{(- 5)^{2}}$ 的结果是．

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12. 若方程 $x^{2} + m x + 9 = 0$ 经配方法转化成 $(x - 3)^{2} = 0$ ，则 $m$ 的值是．

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13. 如图， $A C$ 是矩形 $A B C D$ 的一条对角线， $∠ A C B = α$ ，依据尺规作图的痕迹， $A F$ 与 $E F$ 的交点为 $F$ ，则 $∠ A F E$ 的度数是 $($ 用 $α$ 的代数式表示 $)$ ．

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14. 某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为 $10$ ， $x$ ， $10$ ， $8$ ，若这组数据的中位数和平均数相等，那么 $x =$ ．

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15. $《$ 九章算术 $》$ 中有如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？该问题的意思是：今有门不知其高和宽，有竿不知其长短，横放竿比门宽长出 $4$ 尺，竖放竿比门高长出 $2$ 尺，斜放竿与门对角线恰好相等，问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中门宽为尺 $.$

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16. 两个边长分别为 $a$ ， $b (a < b)$ 的正方形按如图两种方式放置，图 $1$ 中阴影部分的面积为 $m$ ，图 $2$ 中阴影部分的面积为 $n$ ，则大正方形 $A B C D$ 的面积为 $($ 用 $m$ ， $n$ 的代数式表示 $)$ ．

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 解方程

(1)、 $(x - 2)^{2} = 2$ ；

(2)、 $(2 y - 1)^{2} + 3 (2 y - 1) = 0$ ．

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18. 如图， $P (x, y)$ 是平面直角坐标系中的一点．

(1)、用二次根式表示线段 $O P$ 的长．

(2)、若 $x = \sqrt{6}$ ， $y = \sqrt{10}$ ，求 $O P$ 的长．

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19. 设每名工人一天能做某种型号的工艺品 $x$ 个．若某工艺品厂每天要生产这种工艺品 $60$ 个，则需工人 $y$ 名．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式．

(2)、若一名工人每天能做的工艺品个数最少 $6$ 个，最多 $8$ 个，估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品的工人多少人．

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20. 下表是从某校八年级150名女生中随机抽取的10名女生的身高统计表．
身高 $(c m)$
154
158
161
162
165
167
人数
1
2
2
3
1
1

(1)、依据样本，估计该校八年级女生的平均身高．

(2)、写出这10名女生身高的中位数和众数．

(3)、请你依据这个样本，设计一个挑选40名女生组成方队的方案．（要求选中女生的身高尽可能接近）

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $A B = A C$ ，将 $△ A B C$ 补成一个矩形，使 $△ A B C$ 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形的另一边上．

(1)、请用三角板画出一个矩形的示意图．

(2)、若 $A B = 4$ ，求出你所画矩形的面积．

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22. 为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．

素材 $1$

某款中央空调每台进价为 $20000$ 元．

素材 $2$

团购方案：团购 $2$ 台时，则享受团购价 $30000$ 元 $/$ 台，若团购数量每增加 $1$ 台，则每台再降 $500$ 元．

规定：一个团的团购数量不超过 $11$ 台．

问题解决

问题 $1$ ：当团购 $3$ 台时，求出每台空调的团购价．

问题 $2$ ：设团购数量增加 $x$ 台，请用含 $x$ 的代数式表示每台空调的团购价．

问题 $3$ ：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为 $58500$ 元．

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23. 已知反比例函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} > 0)$ ．

(1)、若反比例函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ 的图象经过点 $(1,3)$ ，求 $k_{1}$ 的值．

(2)、若点 $A (a - b, 2)$ ， $B (c - b, 4)$ 在函数 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x}$ 的图象上，比较 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小．

(3)、反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} < 0)$ ，如果 $m \leq x \leq m + 1$ ，且 $0 < m < 24$ ，函数 $y_{1}$ 的最大值比函数 $y_{2}$ 的最大值大 $5$ ，函数 $y_{1}$ 的最小值比函数 $y_{2}$ 的最小值大 $4.8$ ，试证明 $k_{1} + k_{2} = \frac{m^{2} + m}{5}$ ．

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24. 如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $B C$ 上一点，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠后，点 $B$ 的对应点为点 $F$ ．

(1)、如图 $1$ ，当点 $F$ 恰好落在边 $A D$ 上时，求证：四边形 $A B E F$ 是菱形．

(2)、如图 $2$ ，当点 $F$ 恰好落在 $E D$ 上，且 $\frac{B E}{E C} = m$ 时，求 $\frac{D F}{F E}$ 的值．

(3)、如图 $3$ ，当 $∠ A B C = 45 °$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 4$ 时，连结 $B D$ ，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为 $2$ 分、 $3$ 分、 $4$ 分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当 $A F ⊥ B C$ 时，求 $B E$ 的长．
②当 $E F / / B D$ 时，求 $B E$ 的长．
③当点 $F$ 恰好落在 $B D$ 上时，求 $B E$ 的长．

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身高 $(c m)$	154	158	161	162	165	167
人数	1	2	2	3	1	1