河北省保定市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-08 类型：期末考试

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一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x ∣ 1 - x < 0}, B = \{x ∣ x^{2} < 2\}$ ，则 $A \cap B = （）$

A、 $(- 1, \sqrt{2})$ B、 $(- \sqrt{2}, 1)$ C、 $(- \sqrt{2}, - 1)$ D、 $(1, \sqrt{2})$

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2. 用数字 $0, 1, 2, 3$ 组成三位数，各数位上的数字允许重复，则满足条件的三位数的个数为（）

A、12 B、24 C、48 D、64

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3. 若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线的斜率为 $- 3$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1) - f (1 + 2 Δ x)}{Δ x} =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、6

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4. 为了研究某产品的年研发费用 $x$ (单位：万元) 对年利润 $y$ (单位：万元) 的关系，该公司统计了最近 8 年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出 $y$ 与 $x$ 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ . 已知 $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} = 80, \sum_{i = 1}^{8} y_{i} = 200, \hat{b} = 2$ . 若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元，则预测年利润为（）

A、55 万元 B、57 万元 C、60 万元 D、62 万元

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5. 已知正实数 $a, b$ ，则 “ $a + b \leq 2$ ” 是 “ $a^{2} + b^{2} \leq 2$ ” 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（）

A、7种 B、8种 C、12种 D、14种

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7. 已知 $f (x + 5)$ 为偶函数，若函数 $y = |x - 5|$ 与 $y = f (x)$ 图象的交点为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{9}, y_{9})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{9} x_{i} =$ （）

A、45 B、 $- 45$ C、90 D、 $- 90$

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8. 在平面直角坐标系中，如果将函数 $y = f (x)$ 的图象绕坐标原点逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称 $f (x)$ 为“旋转函数”. 下列四个函数中“旋转函数”的个数为（）
① $y = - x$ ； ② $y = e^{x} - 1$ ； ③ $y = ln (x + 1)$ ； ④ $y = \sqrt{x + 1} - 1 (x \geq 0)$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、选择题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.

9. 对于 ${(\sqrt{x} - \frac{3}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、展开式共有 5 项 B、展开式的各项系数之和为 $- 32$ C、展开式中的常数项是 15 D、展开式的各二项式系数之和为 32

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10. 甲和乙两个箱子中各装有 10 个球，其中甲箱中有 5 个白球、 5 个红球，乙箱中有 8 个红球、 2 个白球. 掷一枚质地均匀的骰子，若点数为 5 或 6 ，则从甲箱中随机摸出 1 个球不放回；若点数为 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ ，则从乙箱中随机摸出 1 个球不放回. 下列结论正确的是（）

A、掷骰子一次，摸出的是红球的概率为 $\frac{11}{15}$ B、掷骰子一次，若摸出的是红球，则该球来自甲箱的概率为 $\frac{5}{21}$ C、掷骰子两次，摸出的 2 个球都来自甲箱的概率为 $\frac{1}{9}$ D、掷骰子两次，摸出 2 个红球的概率为 $\frac{194}{405}$

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11. 已知函数 $f (x) = (x - a e^{x}) (\ln x - a x)$ 恰好有三个零点，分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{2} = e^{x_{1}}$ B、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 成等差数列 C、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 成等比数列 D、 $\frac{x_{3} \ln \frac{x_{1}}{x_{2}}}{\ln x_{3}} < \frac{1}{e}$

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三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填在答题卡中的横线上.

12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域和值域均为 $[- 3, 3]$ ，则函数 $g (x) = 2 f (2 x + 1)$ 的定义域和值域分别为.

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13. 已知 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = a x^{3} + x^{2} + a x + 1$ 的极大值点和极小值点. 若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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14. 如图，一只蚂蚁从正四面体 $O A B C$ 的顶点 $O$ 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 $n$ 步回到点 $O$ 的概率 $P_{n}$ ，则 $P_{2} =$ ， $P_{n} =$ .

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四、解答题: 本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：

阅读达标
阅读不达标
合计
女生
70
30
100
男生
40
60
100
合计
110
90
200

(1)、根据上述数据，依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联?

(2)、从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{a}$
3.841
6.635
10.828

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{3^{x} + 1} + a$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ ；

(2)、求不等式 $2 {[f (x)]}^{2} \leq f (- x)$ 的解集.

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17. 已知函数 $f (x) = e^{x} + m x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上单调递增，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m = 1$ 且经过点 $(1, a)$ 只可作 $f (x)$ 的两条切线，求 $a$ 的取值范围.

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18. 某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ .

(1)、若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.

(2)、知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在 $n = 5$ 和 $n = 6$ 之中选其一，则应选择哪个？

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19. 若存在实数 $a$ ，对任意 $x \in D$ ，使得函数 $f (x) > a x$ ，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上被 $a$ 控制.

(1)、已知函数 $f (x) = 3 e^{x} + 2 a$ 在 $[2, + \infty)$ 上被 $a$ 控制，求 $a$ 的取值范围.

(2)、(i)证明：函数 $g (x) = 2 x ln (x + 1) + \frac{1}{x + 1}$ 在 $[1, + \infty)$ 上被1控制.
(ii)设 $n \in N^{*}$ ，证明： $ln 2 + ln 3 + ln 4 + \dots + ln (n + 1) > \frac{n - 1}{2} + \frac{1}{2 n + 2}$ .

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	阅读达标	阅读不达标	合计
女生	70	30	100
男生	40	60	100
合计	110	90	200

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{a}$	3.841	6.635	10.828

河北省保定市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试题

一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.

二、选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.

三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 把答案填在答题卡中的横线上.

四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、选择题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.

三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填在答题卡中的横线上.

四、解答题: 本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.