贵州省遵义市2023-2024学年高一上学期1月期末质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-01-29 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = {x ∣ - 3 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 $\{x | - 1 \leq x \leq 1\}$

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2. 命题： $\forall n \in N^{*}$ ， $n^{2} \geq 2^{n}$ 的否定是（）

A、 $\forall n \in N^{*}, n^{2} < 2^{n}$ B、 $\exists n_{0} \in N^{*}, n_{0}^{2} \geq 2^{n_{0}}$ C、 $\exists n_{0} \in N^{*}, n_{0}^{2} < 2^{n_{0}}$ D、 $\exists n_{0} \in N^{*}, n_{0}^{2} \leq 2^{n_{0}}$

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3. 不等式 $\frac{1}{x - 1} > 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

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4. 已知 $a = {l o g}_{2024} 0.2 ， b = 2024^{0.2} ， c = {0.2}^{2024}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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5. “ $a^{4} > b^{4}$ ”是“ $|a| > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2)$ 为奇函数，若 $f (\frac{1}{2}) = 1$ ，则 $f (\frac{3}{2}) + f (\frac{5}{2}) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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7. 已知实数 $x, y$ 满足 $x - 3 y = 1$ ，则 $2^{x} + {(\frac{1}{2})}^{3 y}$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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8. 已知 $2 a + l n a = l n (1 - b) - 2 b$ ，则下列正确的是（）

A、 $a - b < 1$ B、 $a + b > 1$ C、 $a^{2} > {(b - 1)}^{2}$ D、 $a + b < 1$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 遵义市某校高一年级甲，乙两名同学8次数学测试（100分制）成绩如茎叶图所示，则下列结论正确的是（）

A、甲、乙的中位数都是83 B、甲的方差小于乙的方差 C、甲、乙同学成绩的极差分别是17和20 D、甲的 $25 %$ 分位数是80、乙的 $40 %$ 分位数是83

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10. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x y = x + y$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y$ 的最小值为4 B、 $x + 2 y$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值为8 D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y}$ 的最小值为4

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11. 不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件 $M$ ：取出的两个球是一个红球一个白球，事件 $N$ ：两个球中至少一个白球，事件 $K$ ：两个球均是红球，则下列结论正确的是（）

A、 $P (M) = \frac{3}{5}$ B、 $P (M N) = \frac{21}{50}$ C、 $P (M + K) = \frac{9}{10}$ D、 $P (M) = P (N) + P (\bar{K})$

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12. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \ln (\frac{1}{x} + 1), x > 0 \\ - x + 1, x \leq 0 \end{array}$ ， $h (x) = {[f (x)]}^{2} - (t + 3) f (x) + t + 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有2个零点 B、存在实数 $t$ 使得函数 $h (x)$ 至少有5个零点 C、当 $t \in (- \infty, - 2]$ 时，函数 $h (x)$ 有2个零点 D、当 $t \in (- 2, - 1)$ 时，函数 $h (x)$ 有3个零点

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数 $f (x) = a^{x - 2} + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 的图象必经过定点.

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14. 函数 $f (x) = {l o g}_{a} (π^{x} - 1) (a > 0, a \neq 1)$ 的定义域为．

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15. 设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} \sqrt{x}, 0 < x < 2 \\ 2 (x - 2), x \geq 2 \end{matrix}$ ，若 $f (a + 2) = f (a)$ ，则 $f (a) + f (\frac{1}{a}) =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x - 2} + e^{- x + 2}$ ，则 $f (x - 1) > f (2 x)$ 的解集为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算下列各式：

(1)、 ${0.1}^{- 1} - \sqrt[4]{2} \times 8^{0.25} - {(- \frac{3}{2})}^{0} + 16^{\frac{3}{4}}$ ；

(2)、 $\ln \sqrt{e} + \log_{0.5} 64 + 2^{1 + \log_{2} 3} + \lg \frac{1}{\sqrt{10}}$ ．

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18. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |2 x^{2} + 5 x - 3 < 0\}$ ，集合 $B = \{x |3 - 2 a < x < a + 1\}$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求图中阴影部分表示的集合；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 《全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》中指出：“逐步完善‘健康知识+基本运动技能+专项运动技能’的学校体育教学模式，教会学生科学锻炼和健康知识，指导学生掌握跑、跳、投等基本运动技能和足球、篮球、排球、田径、游泳、体操、武术、冰雪运动等专项运动技能．健全体育锻炼制度，广泛开展普及性体育运动，定期举办学生运动会或体育节，组建体育兴趣小组、社团和俱乐部，推动学生积极参与常规课余训练和体育竞赛．合理安排校外体育活动时间，着力保障学生每天校内、校外各1个小时体育活动时间，促进学生养成终身锻炼的习惯，加强青少年学生军训．”某市为了解高中生周末体育锻炼时间的情况，通过随机调查获得了3000名学生的周末体育锻炼时间（单位：分钟）数据，将数据按照 $[40 ， 60)$ ， $[60 ， 80)$ ， $[80 ， 100)$ ， $[100 ， 120)$ ， $[120 ， 140)$ ， $[140 ， 160)$ ， $[160 ， 180]$ 分成7组，并得到如下频率分布直方图．

(1)、估计该市高中生周末体育锻炼的平均时间（每组数据用该组中点值代表）；

(2)、为了解本市高中生周末体育锻炼时间规划情况，采用分层抽样的方法从体育锻炼时间在 $[140, 180]$ 中抽取6人，再从6人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人中恰有1人锻炼时间在 $[140, 160)$ 的概率．

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20. 正安县是中国白茶之乡．在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用100℃的水泡制，待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳．某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔 $1 min$ 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间 $/ min$
0
1
2
3
4
5
水温 $/$ ℃
100
91
82.9
78.37
72.53
67.27
设茶水温度从100℃经过 $x min$ 后温度变为 $y$ ℃，现给出以下三种函数模型：
① $y = c x + b (c < 0, x \geq 0)$ ；
② $y = c a^{x} + b (c > 0, 0 < a < 1, x \geq 0)$ ；
③ $y = {l o g}_{a} (x + c) (a > 1, c > 0, x \geq 0)$ ．

(1)、从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；

(2)、根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到 $0.01$ ）；

(3)、考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．（参考数据： $l g 3 = 0.477, l g 5 = 0.699$ ）

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21. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + (a + 1) x$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，
①求实数 $a$ 的取值范围；
②若存在实数 $t$ ，使不等式 $f (2 t + x^{2}) + f (t^{2} - 5 x + 5) < 0$ 成立，求实数 $x$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $g (x) = (a^{2} - 2 a + 1) {l o g}_{a + 1} x$ 为对数函数，函数 $y = m (x)$ 的图象与函数 $y = g (x)$ 的图象关于 $y = x$ 对称，设函数 $f (x) = \frac{{[m (x)]}^{2} - n}{m (x)}$ ，且对任意 $x$ 都有 $f (- x + 1) - f (x - 1) = 0$ 恒成立．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $h (x) = {[m (x)]}^{2} + {[m (x)]}^{- 2} - (2 t + 1) f (x)$ 在 $[{l o g}_{3} 2, + \infty)$ 上的最小值为 $- 3$ ，求实数 $t$ 的值．

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时间 $/ min$	0	1	2	3	4	5
水温 $/$ ℃	100	91	82.9	78.37	72.53	67.27