浙江省永康市第二中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷

试卷更新日期：2024-05-28 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合 $A = {x| y = \sqrt{x - 2}}, B = {y| y = \sqrt{x - 2}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $\emptyset$

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2. 设复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ （其中 $i$ 为虚数单位）， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $i$ D、 $\frac{1 + i}{2}$

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3. 已知一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ 的平均数为 $a$ ，由这组数据得到另一组新的样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{10}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} - 2$ （ $i = 1$ ， 2，…，10），则（）

A、两组样本数据的平均数相同 B、两组样本数据的方差不相同 C、两组样本数据的极差相同 D、将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为 $a - 2$

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4. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点 $A$ 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 $B$ ， $C$ 两点与点 $A$ 在同一条直线上，且在点 $A$ 的同侧．若在 $B$ ， $C$ 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 $60 °$ 和 $20 °$ ，且 $B C = 100 m$ ，则该球体建筑物的高度约为（）（ $\cos 10 ° \approx 0.985$ ）

A、49.25 m B、50.76 m C、56.74 m D、58.60 m

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5. “ $a \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”是“圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2}$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + a)}^{2} = 1$ 有公切线”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 为推进体育教学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（）

A、96 B、120 C、144 D、240

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $y = f (x) + e^{x}$ 是偶函数， $y = f (x) - 3 e^{x}$ 是奇函数，则 $f (x)$ 的最小值为（）

A、 $e$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 e$

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8. 已知 $a = s i n \frac{π}{e}$ ， $b = \frac{2}{e}$ ， $c = \frac{l n π}{\sqrt{π}}$ （ $e$ 为自然对数的底数），则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表：
性别
体育锻炼
合计
喜欢
不喜欢
男生
280
q
280+q
女生
p
120
120+p
合计
280+p
120+q
400+p+q
附：χ²＝ $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， n＝a＋b＋c＋d.
α
0.10
0.05
0.010
0.001
x_α
2.706
3.841
6.635
10.828
已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的 $\frac{7}{10}$ ，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的 $\frac{3}{5}$ ，则下列说法正确的是（）

A、列联表中q的值为120，p的值为180 B、随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能喜欢体育锻炼 C、根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好有关系，此推断犯错误的概率不超过0.01 D、根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为学生的性别与其对体育锻炼的喜好无关

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10. 设函数 $f (x) = \cos 2 ω x + \sqrt{3} \sin 2 ω x$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象可由函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位得到 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{8})$ 上单调递增

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11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）

A、在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 $\frac{1}{2}$ B、第二次抽到3号球的概率为 $\frac{11}{48}$ C、如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D、如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种

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12. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ .若 $f (2 x + 1) - 2 x$ 与 $g (x + 2)$ 均为偶函数，则（）

A、 $g (1) = 1$ B、函数 $\frac{f (x + 1)}{x}$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 的周期为2 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} [g (k) - 1] [g (k + 1) + 1] = 0$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在 ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为．

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14. 过点 $(- 1, 0)$ 作曲线 $y = x^{3} - x$ 的切线，则切线的方程为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n (x + 1) ， 0 \leq x < 1 \\ l n x + 1 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (x) \leq k x$ 恒成立，则k的最小值是．

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16. “完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数 $σ (n) : \forall n \in N_{}^{*},$ $σ (n)$ 为n的所有正因数之和，如σ( 6 )＝1＋2＋3＋6＝12，则σ( 20 )＝；σ(6ⁿ )＝．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = m (m \in N^{*})$ ，且 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ，当 a_{n} 为偶数 \\ 3 a_{n} + 1 ，当 a_{n} 为奇数 \end{array}$ .

(1)、 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 32$ ，求 $S_{30}$ ；

(2)、若 $a_{6} = 1$ ，求m所有可能取值的和．

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18. 已知半圆 $O$ 的直径 $A B = 2$ ，点 $C$ 为圆弧上一点（异于点 $A ， B$ ），过点 $C$ 作 $A B$ 的垂线，垂足为 $D$ .

(1)、若 $A C = \sqrt{3}$ ，求 $△ A C D$ 的面积；

(2)、求 $\frac{| A C | + | C D |}{| A C | + | A D |}$ 的取值范围.

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19. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形且垂直于侧面 $S A B$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $S A = S B = A B = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $S O C$ ；

(2)、侧棱 $S D$ 上是否存在点E，使得平面 $A B E$ 与平面 $S C D$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ，若存在，求 $\frac{S E}{S D}$ 的值；若不存在，说明理由．

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20. 我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量 $x$ （单位：dm）与遥测雨量 $y$ （单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
样本号 $i$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量 $x_{i}$
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遥测雨量 $y_{i}$
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
$|x_{i} - y_{i}|$
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
并计算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 353.6$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i}^{2} = 361.7$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 357.3$ ， ${\bar{x}}^{2} \approx 33.62$ ， ${\bar{y}}^{2} \approx 34.42$ ， $\bar{x y} \approx 34.02$ .

(1)、求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；

(2)、规定：数组 $(x_{i}, y_{i})$ 满足 $|x_{i} - y_{i}| < 0.1$ 为“I类误差”；满足 $0.1 \leq |x_{i} - y_{i}| < 0.3$ 为“II类误差”；满足 $|x_{i} - y_{i}| \geq 0.3$ 为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“II类误差”中随机抽取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望.
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{304.5} \approx 17.4$ .

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21. 已知点 $A (\frac{4 \sqrt{6}}{3} ， \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点，B与A关于原点对称，F是右焦点， $∠ A F B = \frac{π}{2}$ ．

(1)、求双曲线的方程；

(2)、已知圆心在y轴上的圆C经过点 $P (- 4 ， 0)$ ，与双曲线的右支交于点M，N，且直线 $M N$ 经过F，求圆C的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{a x}} + l n x - a x - 1$ （ $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2 e l n \frac{1}{a}$ ．
（其中 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数）

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性别	体育锻炼		合计
性别	喜欢	不喜欢	合计
男生	280	q	280+q
女生	p	120	120+p
合计	280+p	120+q	400+p+q

样本号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
人工测雨量 $x_{i}$	5.38	7.99	6.37	6.71	7.53	5.53	4.18	4.04	6.02	4.23
遥测雨量 $y_{i}$	5.43	8.07	6.57	6.14	7.95	5.56	4.27	4.15	6.04	4.49
$\|x_{i} - y_{i}\|$	0.05	0.08	0.2	0.57	0.42	0.03	0.09	0.11	0.02	0.26

α	0.10	0.05	0.010	0.001
x_α	2.706	3.841	6.635	10.828