北师大版数学九年级上册《第四章图形的相似》单元同步测试卷

试卷更新日期：2024-08-11 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{4}{3}$ ，若 $b + d + f = 9$ ，则 $a + c + e$ ＝（）

A、12 B、15 C、16 D、1

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2. 如图，已知AB//CD//EF ， AD∶AF＝3∶5，BE＝10，则BC的长等于（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3. 下列各组图形中，一定相似的是（）

A、两个平行四边形 B、两个正方形 C、两个菱形 D、两个矩形

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4. 在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ=（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5} - 2$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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5. 如图，已知在 $△ A B C$ ， $P$ 为 $A B$ 上一点，连结 $C P$ ，不能判断 $△ A B C ∽ △ A C P$ 的是（　　）

A、 $∠ A C P = ∠ B$ B、 $∠ A P C = ∠ A C B$ C、 $\frac{A C}{A P} = \frac{A B}{A C}$ D、 $\frac{A C}{A B} = \frac{C P}{B C}$

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6. 如图，下列条件不能判定 $△ A B C ∽ △ A D E$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ B = ∠ D$ B、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E} = \frac{B C}{D E}$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$ D、 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$

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7. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（）

A、4cm B、4.5cm C、5cm D、5.5cm

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9. 若 $Δ A B C$ 与 $Δ A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{}$ 相似且对应中线之比为 $2 : 5$ ，则周长之比和面积比分别是（　　）

A、 $2 : 5$ ， $4 : 5$ B、 $2 : 5$ ， $4 : 25$ C、 $4 : 25$ ， $4 : 25$ D、 $4 : 25$ ， $2 : 5$

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10. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 和 $△ O C D$ 是以原点 $O$ 为位似中心的位似图形．若 $O B = 2 O D$ ， $△ O C D$ 的周长为3，则 $△ O A B$ 的周长为（）

A、6 B、9 C、12 D、30

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，线段AC、BD交于点O，请你添加一个条件：，使△AOB∽△COD．

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12. 若 $\frac{a}{b} = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{a + 2 b}{b} =$ ．

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13. 如图，四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则 $∠ A$ 的度数是．

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14. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小艺同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退 $($ 保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上 $)$ ，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端 $.$ 已知小艺的眼睛离地面高度为 $1.6$ 米，同时量得小艺与镜子的水平距离为 $2$ 米，镜子与旗杆的水平距离为 $10$ 米，则旗杆的高度为米 $.$

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15. 若 $△ A B C ∽ △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，且 $\frac{A B}{A_{1} B_{1}} = \frac{3}{4}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $18 c m^{2}$ ，则 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积为 $c m^{2}$ .

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16. 如图， $△ A B O$ 的顶点坐标是 $A (2 ， 6)$ ， $B (3 ， 1)$ ， $O (0 ， 0)$ ，以点O为位似中心，将 $△ A B O$ 缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ ，得到 $△ A' B' O$ ，则点 $A'$ 的坐标为.

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE ，过点D作AE的垂线分别交AE ， AB于点F ， G ．

(1)、求证： $△ A D F ∽ △ E A B$ ；

(2)、若 $A D = 6$ ， $A F = 2 \sqrt{3}$ ，求AE的长．

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18. 如图，△ABC∽△ACD ．

(1)、若CD平分∠ACB ， ∠ACD=40° ，求∠ADC的度数.

(2)、若AD＝2，BD＝3，求AC的长．

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19. 如图，已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 分别截直线 $l_{4}$ 于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，截直线 $l_{5}$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ .

(1)、如果 $A B = 4$ ， $B C = 8$ ， $E F = 12$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、如果 $D E ： E F = 2 ： 3$ ， $A C = 25$ ，求 $A B$ 的长.

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20.
如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）

(1)、把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A₁B₁C₁ ，请画出这个三角形并写出点B₁的坐标；

(2)、以点A为位似中心放大△ABC，得到△A₂B₂C₂ ，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A₂B₂C₂ ．

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21. 如图， $∠ B A D = ∠ C A E$ ， $∠ B = ∠ D$ .

(1)、 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 相似吗？为什么？

(2)、如果 $A B = 2 A D$ ， $B C = 4$ ，那么 $D E$ 的长为多少？

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22. 如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．

(1)、求证：△AEB∽△CED；

(2)、若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．

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23. 已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3 $\sqrt{3}$ cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 $\sqrt{3}$ cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：

(1)、如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；

(2)、如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；

(3)、如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．

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24. 问题提出：已知矩形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上的一点， $E F ⊥ A B$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ．将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ $(0 ° <$ $α$ $< 90 °)$ 得到 $△$ $E^{'} B F^{'}$ ，则 $A E^{'}$ 与 $D F^{'}$ 有怎样的数量关系．

(1)、【问题探究】
探究一：如图，已知正方形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上的一点， $E F ⊥ A B$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ．
如图1，直接写出 $\frac{D F}{A E}$ 的值；

(2)、将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转到如图 $2$ 所示的位置，连接 $A E$ 、 $D F$ ，猜想 $D F$ 与 $A E$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3)、探究二：如图，已知矩形 $A B C D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上的一点， $E F ⊥ A B$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ．

如图3，若四边形 $A B C D$ 为矩形， $\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α （ 0 ° < α < 90 ° ）$ 得到 $△$ $E^{'} B F^{'}$ $(E$ 、 $F$ 的对应点分别为 $E^{'}$ 、 $F^{'}$ 点 $)$ ，连接 $A E^{'}$ 、 $D F^{'}$ ，则 $\frac{A E^{^{'}}}{D F^{^{'}}}$ 的值是否随着 $α$ 的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出 $\frac{A E^{^{'}}}{D F^{^{'}}}$ 的值．

(4)、【一般规律】
如图3，若四边形 $A B C D$ 为矩形， $B C = m A B$ ，其它条件都不变，将 $△ E B F$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $α$ $(0 ° <$ $α$ $< 90$ $°)$ 得到 $△$ $E^{'} B F^{'}$ ，连接 $A E^{'}$ ， $D F^{'}$ ，请直接写出 $A E^{'}$ 与 $D F^{'}$ 的数量关系．

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北师大版数学九年级上册《第四章 图形的相似》单元同步测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共8题，共72分）

北师大版数学九年级上册《第四章图形的相似》单元同步测试卷