贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

试卷更新日期：2024-07-04 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 抛物线 $y = 24 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, \frac{1}{96})$ B、 $(0, 6)$ C、 $(\frac{1}{96}, 0)$ D、 $(6, 0)$

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2. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} + 1$ ，则下列数是该数列中的项的是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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3. 已知直线 $l_{1}$ 经过 $A (3, 7)$ ， $B (2, 8)$ 两点，且直线 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，则直线 $l_{2}$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $135 °$ D、 $150 °$

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $4 a_{5}$ ， $a_{7}$ ， $2 a_{6}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{16} - a_{15}}{a_{14}} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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5. 已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ ，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（）

A、 $8 π$ B、 $16 π$ C、 $36 π$ D、 $64 π$

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6. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是线段 $B D$ 上的一点，且 $P D = 3 P B$ ，设 $\vec{A_{1} A} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{b}, \vec{A_{1} D_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{P C_{1}} =$ （）

A、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{c}$ C、 $- \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为 $40 cm$ ，最大直径为 $60 cm$ ，双曲线的离心率为 $\sqrt{6}$ ，则该花瓶的高为（）

A、 $90 cm$ B、 $100 cm$ C、 $110 cm$ D、 $120 cm$

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8. 已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，直线 $l : 3 k x - 3 y + 5 k - 6 = 0$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线，切点分别为 $A, B$ ，使得 $∠ A P B = 60^{\circ}$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{4}, \frac{14}{5}]$ B、 $[\frac{4}{3}, \frac{14}{5}]$ C、 $[\frac{4}{3}, \frac{12}{5}]$ D、 $[\frac{3}{4}, \frac{12}{5}]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的实轴长为 $4 \sqrt{3}$ B、双曲线 $C$ 的焦距为 $4 \sqrt{5}$ C、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$

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10. 在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{3} = 4$ ， $a_{6} = 32$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $a_{1} = 2$ B、 $a_{n} = 2^{n - 1}$ C、 $\frac{a_{7} + a_{8}}{a_{5} + a_{6}} = 4$ D、 $S_{n} = 2^{n} + 1$

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11. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 3, - 1, 2), \vec{b} = (3, 3, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $(3 \vec{a} + 2 \vec{b}) ∥ \vec{a}$ B、 $\vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 7 \vec{b})$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $- \frac{5 \sqrt{266}}{133}$ D、若 $\vec{c} = (3, 7, 7)$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 直线l过点 $(2, 1)$ ，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为．

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13. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ ，则两圆的位置关系为．

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14. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是椭圆C上的一点，则 $| P F_{1} | \cdot (| P F_{2} | + 2)$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = - 25, 2 a_{3} + a_{5} = - 50$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ .

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，当 $l ⊥ x$ 轴时， $|A B| = 12$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当线段 $A B$ 的中点的纵坐标为 $3$ 时，求直线 $l$ 的方程．

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17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设A，B两点为椭圆C的左、右顶点，点P（异于左、右顶点）为椭圆C上一动点，直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值．

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18. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， O为 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $O A ⊥ C D$ ；

(2)、若 $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，点E在棱 $A D$ 上， $D E = 2 E A, O A = 1$ ，求二面角 $E - B C - D$ 的大小．

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19. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$ ，焦距为 $2 \sqrt{7}$ .

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、若O为坐标原点，过 $P (0 ， 4)$ 的直线l交双曲线C于A ， B两点，且 $△ O A B$ 的面积为 $24 \sqrt{5}$ ，求直线l的方程.

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