浙江省绍兴市高级中学2023-2024学年高二下学期5月模块质量调测数学试卷

试卷更新日期：2024-06-10 类型：月考试卷

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一、单项选择题(本大题共12 小题，每小题3分，共36分，每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)

1. 已如集合 $A = \{1, 2, 5\}$ ， $B = \{2, 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 ${2, 4, 5}$ C、 ${1, 2, 4, 5}$ D、 ${0, 2, 4, 5}$

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + lg (x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $\{x | x \geq 3\}$ B、 $\{x | x < 1\}$ C、 $\{x| 1 \leq x \leq 3\}$ D、 $\{x | 1 < x \leq 3\}$

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3. 若二项式 ${(3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 展开式中存在常数项，则正整数 $n$ 可以是（）

A、3 B、5 C、7 D、8

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4. 已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X(单位：分)服从正态分布N(105， $σ^{2}$ )，且 $P (X < 120) = 0.8$ ，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间(90，105)内的概率为（）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.5

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5. 老师有7本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得3本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（）

A、248种 B、168种 C、490种 D、360种

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6. $a \leq 2$ 是方程 $x^{2} + 2 x + a = 0 (a \in R)$ 有正实数根的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为 $\frac{1}{10} ， \frac{1}{15} ， \frac{1}{10} ，$ 现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（）

A、0.08 B、0.09 C、0.15 D、0.2

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8. 函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 3^{- x}}{| x + 2 | + | x - 2 |}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 现测得某放射性元素的半衰期为1500年(每经过1500年，该元素的存品为原来的一半)，某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量为 $\frac{m}{5}$ ，据此推测该生物距今约为（）
(参考数据： $lg 2 = 0.3, f (t) = m {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{1500}}$ )

A、2700年 B、3100年 C、3500年 D、3900年

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10. 已知函数 $f (x) = lg (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - \frac{2}{2^{x} + 1}$ ，则不等式 $f (x + 1) + f (x) > - 2$ 的解集为（）

A、( $- \frac{1}{2}$ ， +∞) B、( $- \frac{1}{3}$ ， +∞) C、( $- \infty ， - \frac{1}{2}$ ) D、( $- \frac{2}{3}$ ， +∞)

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11. 已知正实数 $x ， y$ 满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y + 1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2} + \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{34}{15}$

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12. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{4} a x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ .若存在 $t \in R$ ，使得 $|f^{'} (t + 2) - f^{'} (t)| \leq \frac{1}{4}$ ，则当 $a$ 取最大值时 $f (x)$ 的最小值为（）

A、 $0$ B、 $- \frac{9}{16}$ C、 $- \frac{2}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分)

13. 已知 $a, b \in R$ ，则下列选项中能使 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ 成立的是（）

A、 $b > a > 0$ B、 $a > b > 0$ C、 $b < 0 < a$ D、 $b < a < 0$

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14. 不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球导色”，事件C=“至少有一红球"，则（）

A、 $P (A) = \frac{3}{5}$ B、 $P (C) = \frac{9}{10}$ C、事件A与事件B是对立事件 D、事件A与事件B是相互独立事件

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15. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（）.

A、若任意选择三门课程，则选法总数为 $A_{7}^{3}$ B、若物理和化学至少选一门，则选法总数为 $C_{2}^{1} C_{5}^{2}$ C、若物理和历史不能同时选，则选法总数为 $C_{7}^{3} - C_{5}^{1}$ D、若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为 $C_{2}^{1} C_{5}^{2} - C_{5}^{1}$

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16. 已知定义在R上的函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x - \frac{3}{2}) = - f (x)$ ，且 $f (x + \frac{3}{4})$ 为奇函数， $f (- 1) = - 1$ ， $f (0) = 2$ .下列说法正确的是（）

A、3是函数 $y = f (x)$ 的一个周期 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3}{4}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 是偶函数 D、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2023) = 2$

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三、填空题(本大题共4小题，共16分)

17. 已知 $f (x)$ 是幂函数，且满足：① $f (- x) = f (x)$ ；② $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数 $f (x) =$ .

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18. 某班共有学生40人，将一次数学考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示，成绩不低于85分的人数有人.

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19. 已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a - 2 b = 1$ ，则 $a^{2} + 4 b^{2} + \frac{1}{4 a b}$ 的最小值为．

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20. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - e^{x}$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题(本大题共3小题，共32分)

21. 已知 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

(1)、求展开式第3项的二项式系数；

(2)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ 的值.

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22. 为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求比赛结束时恰好打了6局的概率；

(2)、若甲以 $3 : 1$ 的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列．

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23. 已知函数 $f (x) = x | x - a | + x$ ， $a \in R$ ．
（1）若 $a = 0$ ，判断函数 $y = f (x)$ 的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）若存在实数 $a \in [- 2, 3]$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) - t f (a) = 0$ 有三个不相等的实数根，求实数 $t$ 的取值范围．

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