贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年高三上学期九校联考（开学考）数学试题

试卷更新日期：2024-02-27 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

1. 已知集合 $A = \{x| x^{2} - 3 x > 0\}, B = \{0,1, 2,3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{4\}$ D、 $\{0, 3, 4\}$

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2. 复数 $z = (- 2 + i) (2 + 2 i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若直线 $l : y = k x$ 与圆 $M : x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 只有一个公共点，则 $k =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、2

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4. 有一组样本数据都在区间 $[1, 21]$ 内，将其制成如图所示的频率分布直方图，估计该组样本数据的平均数为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）

A、10 B、10.68 C、10.58 D、12

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5. 已知向量 $\vec{a} = (3 sin θ + cos θ, sin θ - 5 cos θ), \vec{b} = (3 sin θ, cos θ), θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $- 1$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - a)}^{2}, x < 0 \\ - \frac{2 x + 1}{x + 1}, x \geq 0 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, + ∞)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(0, + ∞)$ D、 $R$

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7. 大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $m / s$ ）可以表示为 $v = k l o g_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为 $0.5 m / s$ 时耗氧量的单位数为300，则一条鲑鱼游速为 $2 m / s$ 时耗氧量的单位数为（）

A、100 B、900 C、1200 D、8100

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8. 现准备给一半径为 $6 cm$ 的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下该球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为 $4 cm$ 的圆，则制成的包装盒的容积最小为（）

A、 $133 {πcm}^{3}$ B、 $399 {πcm}^{3}$ C、 $266 {πcm}^{3}$ D、 $532 {πcm}^{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{2} = 1, a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2024} = 1$ B、 $a_{2023} = 1$ C、若 $S_{2024} = 2024$ ，则 $a_{1} = 1$ D、若 $S_{2023} = - 1$ ，则 $a_{1} = - 1$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n x c o s x}{s i n x + c o s x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ 上有最大值，且最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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11. 已知 $O$ 为坐标原点， $P, Q$ 为抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上两点， $F$ 为 $C$ 的焦点，若 $F$ 到准线 $l$ 的距离为2，则下列结论正确的是（）

A、若 $M (1, 3)$ ，则 $△ P M F$ 周长的最小值为 $2 + \sqrt{5}$ B、若直线 $P Q$ 过点 $F$ ，则直线 $O P, O Q$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ C、若 $N (0, - 1)$ ，则 $\frac{| Q N |}{| Q F |}$ 的取值范围是 $[1, \sqrt{2}]$ D、若 $△ P O F$ 的外接圆与准线 $l$ 相切，则该外接圆的面积为 $\frac{9 π}{4}$

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三、搷空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 甲、乙等7名同学随机站成一排，则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有种．

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13. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右支上有一点 $A$ ，点 $A$ 关于坐标原点对称的点为 $B, F$ 为双曲线 $C$ 的左焦点，且满足 $A F ⊥ B F$ ，当 $∠ B A F = \frac{π}{12}$ 时，双曲线 $C$ 的离心率为．

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14. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, P A = 2, P B = \sqrt{7}, A B = 3, M$ 为棱 $A B$ 上靠近点 $B$ 的三等分点，且 $C M$ 为 $∠ A C B$ 的角平分线，则二面角 $P - A C - B$ 的平面角的正切值的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $b = 1, c = c o s A + \frac{\sqrt{3}}{2} a$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，上顶点为 $A (0, \sqrt{3})$ ，且 $△ A F_{1} F_{2}$ 为正三角形．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $D, E$ 两点，求 $△ A D E$ 的面积．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60 °, B D ⊥ P C, A B = 4, A P = \sqrt{10}, C P = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、求二面角 $C - P D - B$ 的余弦值．

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18. 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为 $\frac{2}{3}$ ，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为 $\frac{1}{3}$ ，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为 $\frac{1}{2}$ ，如此往复．

(1)、求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．

(2)、记该同学第 $n$ 天中午选择冰糖雪梨汤的概率为 $P_{n}$ ，证明： ${P_{n} - \frac{3}{7}}$ 为等比数列．

(3)、求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．

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19. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} + a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = m$ 有两个不相等的根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2}, f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，证明： $f^{'} (\sqrt{x_{1} x_{2}}) < 0$ ．

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