广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测（二）数学试题

试卷更新日期：2024-06-21 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x| - 5 < x \leq 1\}$ ， $B = \{x| x^{2} \leq 9\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 3, 1)$ B、 $[- 3, 1]$ C、 $(- 5, 3]$ D、 $[- 3, 3]$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = | - 1 + \sqrt{3} i |$ ，则复数 $z$ 的共轭复数为（　　）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，“ $a_{1} > a_{2}$ ”是“ $a_{3} > a_{6}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄 $A P$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $∠ B A C$ ，且 $A B = A C$ ，从而保证伞圈 $D$ 能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈 $D$ 已滑动到 $D^{'}$ 的位置，且 $A$ 、 $B$ 、 $D^{'}$ 三点共线， $A D^{'} = 40 cm$ ， $B$ 为 $A D^{'}$ 的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离为 $24 cm$ ，则当伞完全张开时， $∠ B A C$ 的余弦值是（　　）

A、 $- \frac{17}{25}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{2} 1}{25}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{8}{25}$

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5. 已知方程 $A x^{2} + B y^{2} + C x y + D x + E y + F = 0$ ，其中 $A \geq B \geq C \geq D \geq E \geq F$ ．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程；    乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程；    丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（    ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ， C的一条渐近线与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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7. 已知函数 $f (x) = A \sin ω x + 2 \cos ω x (A > 0, ω > 0)$ 的对称轴方程为 $x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ ，且函数 $g (x) = f (x) - a$ 在 $[0, n π] (n \in N^{*})$ 内恰有 $2023$ 个零点，则满足条件的有序实数对 $(a, n)$ （）

A、只有2对 B、只有3对 C、只有4对 D、有无数对

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8. 已知实数a，b满足 $a > b > 0$ ，且 $a^{a} = b^{b}$ ， e为自然对数的底数，则（）

A、 $b > \frac{1}{e}$ B、 $a + b > \frac{2}{e}$ C、 $a^{a} < e^{a - 1}$ D、 $a^{a} < e^{- \frac{1}{e}}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列论断正确的有（）（名词解释：高中阶段毛入学率≡在校生规模÷适龄青少年总人数×100%）

A、近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长 B、近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人 C、2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万 D、2020年，普通高中的在校生超过2470万人

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10. 如图，过点 $C (a, 0) (a > 0)$ 的直线 $A B$ 交抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 于A，B两点，连接 $A O$ 、 $B O$ ，并延长，分别交直线 $x = - a$ 于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（）

A、 $B M // A N$ B、以 $A B$ 为直径的圆与直线 $x = - a$ 相切 C、 $S_{△ A O B} = S_{△ M O N}$ D、 $S_{△ M C N}^{2} = 4 S_{△ A N C} \cdot S_{△ B C M}$

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11. 素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（）

A、一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 B、该“十字贯穿体”的表面积是 $112 - 16 \sqrt{2}$ C、该“十字贯穿体”的体积是 $48 - \frac{16 \sqrt{2}}{3}$ D、一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点 $A$ 出发，沿表面到达顶点 $B$ 的最短路线长为 $\frac{4}{3} + 4 \sqrt{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 如图， $B C, D E$ 是半径为3的圆 $O$ 的两条直径， $\vec{B F} = 2 \vec{F O}$ ，则 $\vec{F D} \cdot \vec{F E} =$ ．

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13. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义：由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 $f (x)$ 是定义在R上的函数，对于 $x \in R$ ，令 $x_{n} = f (x_{n - 1}) (n = 1, 2, 3, \dots)$ ，若存在正整数k使得 $x_{k} = x_{0}$ ，且当 $0 < j < k$ 时， $x_{j} \neq x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个周期为k的周期点．若 $f (x) = e^{x - 1}$ ，写出一个 $f (x)$ 周期为1的周期点．

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14. 有 $n$ 个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是，从第 $n$ 个盒子中取到白球的概率是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ∥ A D, A D = 2 B C$ ， $M$ 是棱 $P D$ 上靠近点 $P$ 的三等分点．

(1)、证明： $P B //$ 平面 $M A C$ ；

(2)、设平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线为 $l$ ，若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, A B ⊥ A D, P A ⊥ A D$ ， $P A = A D = 2 A B = 2$ ，求 $l$ 与平面 $M A C$ 所成角的正弦值．

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16. 为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A小区与B小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下
分组
A小区频数
B小区频数
18-40岁人群
60
30
41-70岁人群
80
90
其他人群
30
50
假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．

(1)、从A小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；

(2)、从A、B小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、设事件 $E$ 为“从A小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件 $F$ 为“从B小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件 $E$ 发生的概率 $P (E)$ 与事件 $F$ 发生的概率 $P (F)$ 的大小，并说明理由．

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17. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，焦距为4，过右焦点 $F$ 作垂直于实轴的直线交 $C$ 于 $B$ 、 $D$ 两点，且 $△ A B D$ 是直角三角形．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、 $M$ 、 $N$ 是 $C$ 右支上的两动点，设直线 $A M$ 、 $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = - 2$ ，求点 $A$ 到直线 $M N$ 的距离 $d$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = x - 1 + \frac{a}{e^{x}}$ （ $a \in R, e$ 为自然对数的底数）
（1）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (x))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，求 $a$ 的值；
（2）求函数 $f (x)$ 的极值；
（3）当 $a = 1$ 时，若直线 $l : y = k x - 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 没有公共点，求 $k$ 的最大值.

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19. 若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为整数．且对于 $\forall i, j \in N^{*}$ ， $i < j$ ，都存在 $k > j$ ，使得 $a_{k} = a_{i} a_{j} - a_{i} - a_{j}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 满足性质P．

(1)、判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
① $a_{n} = n$ ， $n = 1$ ， 2，3，…；
② $b_{n} = n + 2$ ， $n = 1$ ， 2，3，…．

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足性质P，且 $a_{1} = 1$ ，求证：集合 $\{n \in N^{*} |a_{n} = 3\}$ 为无限集；

(3)、若周期数列 $\{a_{n}\}$ 满足性质P，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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分组	A小区频数	B小区频数
18-40岁人群	60	30
41-70岁人群	80	90
其他人群	30	50