浙江省五校联盟2024届高三下学期3月联考数学试题

试卷更新日期：2024-04-01 类型：月考试卷

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一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 若全集 $U$ ，集合 $A, B$ 及其关系用韦恩图表示如图，则图中阴影表示为（）

A、 $∁_{U} (A \cap B)$ B、 $∁_{U} (A \cup B)$ C、 $(∁_{U} A) \cap B$ D、 $A \cap (∁_{U} B)$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ，向量 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 2$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$

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3. 设b，c表示两条直线， $α, β$ 表示两个平面，则下列说法中正确的是（）

A、若 $b / / α, c \subset α$ ，则 $b / / c$ B、若 $b / / c, b \subset α$ ，则 $c / / α$ C、若 $α ⊥ β, c / / α$ ，则 $c ⊥ β$ D、若 $c / / α, c ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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4. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 3, 2 \cos α)$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $q = 2$ ”是“ $\{S_{n} + a_{1}\}$ 为等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知实数x，y满足 $x > 3$ ，且 $x y + 2 x - 3 y = 12$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、 $1 + 2 \sqrt{6}$ B、8 C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $1 + 2 \sqrt{3}$

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7. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 、A为双曲线的左顶点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $∠ P A Q = \frac{2 π}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ D、 $\sqrt{13}$

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8. 在等边三角形 $A B C$ 的三边上各取一点D，E，F，满足 $D E = 3$ ， $D F = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ D E F = 90 °$ ，则三角形 $A B C$ 的面积的最大值是（）

A、 $7 \sqrt{3}$ B、 $13 \sqrt{3}$ C、 $\frac{7}{3} \sqrt{3}$ D、 $\frac{13}{3} \sqrt{3}$

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二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在学校组织的《青春如火，初心如炬》主题演讲比赛中，有8位评委对每位选手进行评分（评分互不相同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列说法中正确的是（）

A、剩下评分的平均值变大 B、剩下评分的极差变小 C、剩下评分的方差变小 D、剩下评分的中位数变大

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10. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，已知 $A B = A C = B D = C D = 3, A D = B C = 2$ ，点M，N分别是AD，BC的中点，则（）

A、 $M N ⊥ A D$ B、异面直线AN，CM所成的角的余弦值是 $\frac{7}{8}$ C、三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ D、三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的表面积为 $11 π$

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot (sin x + cos x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的零点为 $x = k π - \frac{π}{4}, k \in Z$ B、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[2 k π + \frac{π}{2}, 2 k π + \frac{3 π}{2}], k \in Z$ C、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，若 $f (x) \geq k x$ 恒成立，则 $k \leq \frac{2}{π} \cdot e^{\frac{π}{2}}$ D、当 $x \in [- \frac{1003 π}{2}, \frac{1005 π}{2}]$ 时，过点 $(\frac{π - 1}{2}, 0)$ 作 $f (x)$ 的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为 $502 π$

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三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 直线 $3 x - 4 y + 3 = 0$ 的一个方向向量是.

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13. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制 $.$ 如果每局比赛中甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为．

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14. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $f (2 x - 1), g (x - 2)$ 均为偶函数，且当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = m x^{3} - 2 x$ ，则 $g (2024) =$ .

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四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是直角三角形， $∠ A C B = 90^{°}$ ，点 $B_{1}$ 在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且 $B C = C A = 2$ .

(1)、求证：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} C_{1} C B$ ；

(2)、若斜棱柱的高为 $\sqrt{3}$ ，求平面 $A B B_{1}$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值.

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16. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 $a$ 的值；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 在 $x \in (0, e]$ 上的最大值是 $- 3$ ?若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由.

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17. 记复数的一个构造：从数集 $\{0, 1, \sqrt{3}\}$ 中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复 $n$ 次这样的构造，可得到 $n$ 个复数，将它们的乘积记为 $z_{n}$ .已知复数具有运算性质： $|(a + b i) \cdot (c + d i)| = |(a + b i)| \cdot |(c + d i)|$ ，其中 $a, b, c, d \in R$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，记 $|z_{2}|$ 的取值为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、当 $n = 3$ 时，求满足 $|z_{3}| \leq 2$ 的概率；

(3)、求 $|z_{n}| < 5$ 的概率 $P_{n}$ .

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们把点 $(x, y), x, y \in N^{*}$ 称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点 $(x, y)$ 进行赋值记为 $P (x, y)$ ，例如 $P (2, 3) = 8$ ， $P (4, 2) = 14, P (2, 5) = 17$ .

(1)、求 $P (x, 1)$ ；

(2)、求证： $2 P (x, y) = P (x - 1, y) + P (x, y + 1)$ ；

(3)、如果 $P (x, y)$ 满足方程 $P (x + 1, y - 1) + P (x, y + 1) + P (x + 1, y) + P (x + 1, y + 1) = 2024$ ，求 $P (x, y)$ 的值.

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19. 在平面直角坐标系xOy中，过点 $F (1, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 交于M，N两点 $(M$ 在第一象限）.

(1)、当 $| M F | = 3 | N F |$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若三角形OMN的外接圆与曲线 $C$ 交于点 $D$ （异于点O，M，N），
（i）证明：△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.

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