四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题

试卷更新日期：2024-07-06 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知方程 $\frac{x^{2}}{k + 2} + \frac{y^{2}}{2 - k} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$

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2. 图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（）
图一图二图三

A、 $2^{n} - 1; n$ B、 $2^{n} - 1; n + 1$ C、 $2^{n - 1} - 1; n$ D、 $2^{n + 1} - 1; n + 1$

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3. 如图，圆台 $O O_{1}$ 的上底面半径为 $O_{1} A_{1} = 1$ ，下底面半径为 $O A = 2$ ，母线长 $A A_{1} = 2$ ，过 $O A$ 的中点B作 $O A$ 的垂线交圆O于点C，则异面直线 $O O_{1}$ 与 $A_{1} C$ 所成角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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4. “ $a = - \frac{1}{3}$ ”是“直线 $a x + (a + 1) y = 0$ 和直线 $2 a x + (1 - a) y + 1 = 0$ 平行”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（）

A、 $\frac{11}{144}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{11}{72}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + m x + 4 y - 11 = 0 (m \in R)$ 的公共弦所在直线与直线 $l$ ： $2 x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $m$ 的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、8 D、 $- 8$

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7. 已知点 $A (0, 1, 1)$ ， $B (1, 0, 2)$ ， $C (1, - 2, 3)$ ， $D (- 1, - 2, 1)$ ，则直线 $A B$ ， $C D$ 的位置关系是（）

A、平行 B、相交 C、重合 D、异面

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8. 已知 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为双曲线上一点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - \frac{1}{2} c^{2}$ .则此双曲线离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \sqrt{2}]$ B、 $(1, 2]$ C、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 对于一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件A，B，C，其中 $n (Ω) = 24$ ， $n (A) = 12$ ， $n (B) = 4$ ， $n (C) = 8$ ， $n (A \cup B) = n (A \cup C) = 16$ ，则（）

A、事件A与B互斥 B、事件A与B相互独立 C、事件A与C互斥 D、事件A与C相互独立

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10. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列判断中正确的是（）

A、三棱锥 $A - D_{1} P C$ 的体积是 $\frac{1}{6}$ B、 $D P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ C、平面 $P B_{1} D$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的二面角为 $60 °$ D、异面直线 $A_{1} P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的范围是 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$

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11. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{1}{2^{n} - 18} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的最大项为 $a_{6}$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 的最大项为 $a_{5}$ C、数列 $\{a_{n}\}$ 的最小项为 $a_{5}$ D、数列 $\{a_{n}\}$ 的最小项为 $a_{4}$

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12. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 $l_{1}$ 从点M射入，经过C上的点 $A (x_{1}, y_{1})$ 反射，再经过C上另一点 $B (x_{2}, y_{2})$ 反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，则（）

A、C的准线方程为 $x = - 1$ B、 $y_{1} y_{2} = - 2$ C、若点 $M (2, 1)$ ，则 $|A B| = \frac{11}{2}$ D、设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线 $l_{2}$ 上

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上一点 $A (2 \sqrt{2}, 2)$ 到焦点的距离为．

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14. 已知 $\{a_{n}\}$ 满足对一切正整数n均有 $a_{n + 1} < a_{n}$ 且 $a_{n} = - n^{2} + λ n$ 恒成立，则实数 $λ$ 的范围是

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15. 已知圆C的方程为 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，过直线l： $3 x + a y - 5 = 0$ （ $a > 0$ ）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为 $\sqrt{15}$ ，则直线l的斜率为．

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为正方形 $A B C D$ 的中心．M为平面 $A B C D$ 上的一个动点，则下列命题正确的
①若 $| M A | = \sqrt{2} |M B_{1}|$ ，则M的轨迹是圆；②若M到直线 $A B, A_{1} D_{1}$ 距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线 $C D, B B_{1}$ 距离相等，则M的轨迹是抛物线

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知直线 $l : (m + 2) x - (2 m + 1) y - 3 = 0 (m \in R)$ ；

(1)、证明：直线l过定点；

(2)、已知点 $P (- 1, - 2)$ ，当点 $P$ 到直线l的距离最大时，求实数m的值．

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18. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 $(1 ， 1)$ ，动点P满足 $| P A | = \sqrt{2} | P O |$ .

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、若直线l过点 $Q (1 ， 2)$ 且与轨迹C相切，求直线l的方程.

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19. 已知过点 $M (2, 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C : x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）交于 $A$ ， $B$ 两点，且当 $l$ 的斜率为 $1$ 时， $M$ 恰为 $A B$ 中点．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、当 $l$ 经过抛物线 $C$ 的焦点时，求 $△ O A B$ 的面积．

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20. 眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙队中3人答对的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
（1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率；
（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $P A = P B = 3$ ， $B C = 1$ ， $A B = 2$ ， $A D = 3$ ，点O是 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $P O ⊥ C D$ ；

(2)、求二面角 $A - P O - D$ 的余弦值；

(3)、在棱 $P C$ 上是否存在点M，使得 $B M / /$ 平面 $P O D$ ?若存在，求 $\frac{C M}{C P}$ 的值；若不存在，说明理由．

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22. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0, 1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过点 $P (- 2, 1)$ 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当 $| M N | = 2$ 时，求k的值．

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