湘教版数学八年级上册《第1章分式》单元提升测试卷

试卷更新日期：2024-08-06 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 若 $7^{m} = 11$ ， $1 1^{n} = 7$ ，则 $\frac{m}{m + 1} + \frac{n}{n + 1}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 对于如图分式中的符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变的是（）．

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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3. 化简 $\frac{1}{a - 2} \div \frac{a}{a^{2} - 4}$ 的结果是（）

A、 $\frac{a + 2}{a}$ B、 $\frac{a}{a + 2}$ C、 $\frac{a - 2}{a}$ D、 $\frac{a}{a - 2}$

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4. 若 $a = - 0 . 3^{2} ， b = - 3^{- 2} ， c = {(- \frac{1}{3})}^{- 2} ； d = {(- \frac{1}{3})}^{0}$ ，则它们的大小关系是（）

A、 $a < b < c < d$ B、 $b < a < d < c$ C、 $a < d < c < b$ D、 $c < a < d < b$

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5. 若关于x的方程 $\frac{3}{x} + \frac{a x}{x + 1} = 2 - \frac{3}{x + 1}$ 有增根 $x = - 1$ ，则 $2 a - 3$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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6. 若分式方程 $\frac{3 x - a}{x^{2} - 2 x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x}$ 无解，则实数 $a$ 的取值是（）

A、0或2 B、4 C、8 D、4或8

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7. 若关于x的方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m}{x - 3}$ 有正数解，则（）．

A、m＞0且m≠3 B、m＜6且m≠3 C、m＜0 D、m＞6

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8. 已知 $y_{1} = \frac{1}{x - 1}$ ， $y_{2} = \frac{1}{1 - y_{1}}$ ， $y_{3} = \frac{1}{1 - y_{2}}$ ， $y_{4} = \frac{1}{1 - y_{3}}$ ， …， $y_{n} = \frac{1}{1 - y_{n - 1}}$ ，则y₂₀₂₁=（）

A、 $\frac{x - 1}{x - 2}$ B、2-x C、 $\frac{1}{x - 1}$ D、1

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9. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（）

A、 $\frac{6750}{3 x} - 50 = \frac{3000}{x}$ B、 $\frac{3000}{3 x} - 50 = \frac{6750}{x}$ C、 $\frac{6750}{3 x} + 50 = \frac{3000}{x}$ D、 $\frac{3000}{3 x} + 50 = \frac{6750}{x}$

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10. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书.若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）

A、 $\frac{1080}{x} = \frac{1080}{x - 15} + 6$ B、 $\frac{1080}{x} = \frac{1080}{x - 15} - 6$ C、 $\frac{1080}{x + 15} = \frac{1080}{x} - 6$ D、 $\frac{1080}{x + 15} = \frac{1080}{x} + 6$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 化简： $\frac{x - y}{x} \div (x - \frac{2 x y - y^{2}}{x}) =$ .

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12. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为．

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13. 计算： ${(π - 3)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ＝．

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14. 数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现： $\frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12}$ ．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是．

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15. 对于两个不相等的实数a、b ，我们规定符号 $M i n {a ， b}$ 表示a ， b中的较小的值，如 $M i n {2 ， 4} = 2$ ，按照这个规定，方程 $M i n (\frac{1}{1 - x} ， \frac{2}{1 - x}) = \frac{4}{x - 1} - 3$ 的解为．

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16. 观察下列等式：
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$

将以上三个等式两边分别相加得： $\frac{1}{1 \times 2} +$ $\frac{1}{2 \times 3} +$ $\frac{1}{3 \times 4}$ = $1 - \frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ = $1 - \frac{1}{4}$ = $\frac{3}{4}$

猜想并得出： $\frac{1}{n (n + 1)}$ = $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

根据以上推理，求出分式方程 $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{(x - 2) (x - 3)} + \frac{1}{(x - 3) (x - 4)} = 1$ 的解是．

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三、解答题（共11题，共72分）

17. 先化简，再求值： $(\frac{2}{x - 2} + 1) \div \frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中 $x = 4$ ．

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18. 先化简，再求值：（ $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - x}$ + $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2 x}$ ）÷ $\frac{1}{x}$ ，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．

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19. 先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 1}$ ，从 $- 1$ ，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值.

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20. 解方程： $\frac{2 - x}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} - 2$ ．

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21. 解方程： $\frac{8}{x^{2} - 4}$ +1＝ $\frac{x}{x - 2}$ .

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22. 解方程： $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ ．

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23. 随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间.某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品.已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍.求甲、乙两组各有多少名工人?

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24. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花1480元购进甲种点茶器具套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍．

(1)、求甲、乙两种点茶器具套装的单价．

(2)、某学校社团开展茶文化学习活动，从该网店购进甲、乙两种点茶器具套装共花了2252元，甲种点茶器具套装比乙种点茶器具套装多2套，则学校购进甲、乙两种点茶器具套装各多少套？

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25. “元旦”期间，某电商想购进 $A 、 B$ 两种商品出售，已知每件 $B$ 种商品的进价比每件 $A$ 种商品的进价少5元，且用400元购进 $A$ 种商品的数量是用100元购进 $B$ 种商品数量的2倍．

(1)、求每件 $A$ 种商品和每件 $B$ 种商品的进价分别是多少元？

(2)、商店决定购进 $A 、 B$ 两种商品共80件， $A$ 种商品加价5元出售， $B$ 种商品比进价提高 $20 %$ 后出售，要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求 $A$ 种商品至少购进多少件？

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26. （阅读理解）
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式 $M$ 、 $N$ 的大小，只要作出它们的差 $M - N$ ，若 $M - N > 0$ ，则 $M > N$ ；若 $M - N = 0$ ，则 $M = N$ ；若 $M - N < 0$ ，则 $M < N$ .

（解决问题）

小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了 $m$ 千克商品，小颖两次购买商品均花费 $n$ 元，已知第一次购买该商品的价格为 $a$ 元 $/$ 千克，第二次购买该商品的价格为 $b$ 元 $/$ 千克（ $a$ ， $b$ 是整数，且 $a \neq b$ ）

(1)、小丽和小颖两次所购买商品的平均价格分别是多少元 $/$ 千克？

(2)、请用作差法比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低.

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27. 观察下列方程的特征及其解的特点．
① $x + \frac{2}{x} = - 3$ 的解为 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 2$ ；

② $x + \frac{6}{x} = - 5$ 的解为 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = - 3$ ；

③ $x + \frac{12}{x} = - 7$ 的解为 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = - 4$ ．

解答下列问题：

(1)、请你写出一个符合上述特征的方程为，其解为 $x_{1} = - 4$ ， $x_{2} = - 5$ ．

(2)、根据这类方程特征，写出第n个方程为，其解为 $x_{1} = - n$ ， $x_{2} = - n - 1$ ；

(3)、请利用（2）的结论，求关于x的方程 $x + \frac{n^{2} + 3 n + 2}{x + 3} = - 2 (n + 3)$ （其中n为正整数）的解．

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一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共11题，共72分）

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