浙教版数学九年级上册《第1章二次函数》单元提升测试卷

试卷更新日期：2024-08-06 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc²＞0；② $\frac{4}{3}$ ＜b＜2；③若 $a x_{1}^{2}$ ﹣bx₁＝ $a x_{2}^{2}$ ﹣bx₂且x₁≠x₂ ，则x₁+x₂＝﹣2；④直线y＝﹣ $\frac{5}{6}$ cx+c与抛物线y＝ax²+bx+c的一个交点（m ， n）（m≠0），则m＝ $\frac{1}{2}$ ．其中正确的结论是（）

A、①②④ B、①③④ C、①②③ D、①②③④

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2. 将抛物线y＝x²+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（）

A、y＝（x+1）²﹣3 B、y＝（x+1）²﹣2 C、y＝（x﹣1）²﹣3 D、y＝（x﹣1）²﹣2

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3. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a (a \neq 0)$ 的图象经过 $A (\frac{a}{2}, y_{1}), B (3 a, y_{2})$ 两点，则下列判断正确的是（）

A、可以找到一个实数 $a$ ，使得 $y_{1} > a$ B、无论实数 $a$ 取什么值，都有 $y_{1} > a$ C、可以找到一个实数 $a$ ，使得 $y_{2} < 0$ D、无论实数 $a$ 取什么值，都有 $y_{2} < 0$

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4. 已知点 $A (- 2 ， a)$ ， $B (\frac{1}{2} ， b)$ ， $C (\frac{5}{2} ， c)$ 都在二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 的图象上，那么a、b、c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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5. 已知二次函数 $y = a x^{2} + (2 a - 3) x + a - 1$ （x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（）

A、 $1 \leq a < \frac{9}{8}$ B、 $0 < a < \frac{3}{2}$ C、 $0 < a < \frac{9}{8}$ D、 $1 \leq a < \frac{3}{2}$

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6. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = b x + c$ 与反比例函数 $y = \frac{a + b}{x}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴相交于 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与y轴负半轴相交于点C ，点D在抛物线上，且直线 $C D ∥ x$ 轴，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、线段CD的长为4 C、 $4 a + 2 b + c < 0$ D、当 $x > 1$ 时，y的值随x值的增大而增大

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8. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 $h$ （单位： $m$ ）与小球的运动时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系式是 $h = 30 t - 5 t^{2} (0 \leq t \leq 6)$ ．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要 $6 s$ ；
②小球运动中的高度可以是 $30 m$ ；
③小球运动 $2 s$ 时的高度小于运动 $5 s$ 时的高度．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 如图①，在菱形 $A B C D$ 中，∠A=120°，点E是边 $B C$ 的中点，点F是对角线 $B D$ 上一动点，设 $F D$ 的长为x， $E F$ 与 $C F$ 长度的和为y．图②是y关于x的函数图象，点P为图象上的最低点，则函数图象的右端点Q的坐标为（）

A、 $(6 ， 4 \sqrt{3})$ B、 $(4 \sqrt{3} ， 3 \sqrt{3})$ C、 $(4 \sqrt{3} ， 6)$ D、 $(6 ， 3 \sqrt{3})$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (3, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，下列四个结论：① $b c < 0$ ；② $3 a + 2 c < 0$ ；③ $a x^{2} + b x \geq a + b$ ；④若 $- 2 < c < - 1$ ，则 $- \frac{8}{3} < a + b + c < - \frac{4}{3}$ ，其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 若抛物线y＝x²﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是．

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12. 如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y₁=- $\frac{1}{2}$ x²+3向下平移2个单位后得抛物线y₂ ，则阴影部分的面积S=.

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13. 如图所示，二次函数 $y = a x^{2} ＋ b x ＋ c (a \neq 0)$ 的图像的对称轴是直线 $x = 1$ ，且经过点 $（ 0, 2 ）$ ．有下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $a + b \geq m (a m + b)$ （ $m$ 为常数）；④ $x = - 3$ 和 $x = 5$ 时函数值相等；⑤若 $(2, y_{1})$ ， $(\frac{1}{2}, y_{2})$ ， $(- 2, y_{3})$ 在该函数图象上，则 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ ；⑥ $8 a + c < 0$ ．其中错误的结论是（填序号）．

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14. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 为常数，且 $a \neq 0$ ），其对称轴为直线 $x = 3$ ．下列结论：
① $a b c > 0$ ；
②若 $a > 0, M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线上两点 $(x_{1} < x_{2})$ ，若 $x_{1} + x_{2} > 6$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ；
③若方程 $| a x^{2} + b x + c | = a$ 有四个根，则这四个根的和为12；
④当 $c = - 7$ 时，若 $5 ⩽ x ⩽ 6$ ，对应y的整数值有4个，则 $\frac{3}{5} ⩽ a < \frac{4}{5}$ ．
其中正确的结论是．（填写序号）

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15. 在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于 $x$ 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数 $y =$ $（ x - 2 ）^{2} （ 0 ⩽ x ⩽ 3 ）$ 的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形 $O A B C$ ．若二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c （ 0 ⩽ x ⩽ 3 ）$ 的图象的关联矩形恰好也是矩形 $O A B C$ ，则 $b =$ .

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16. 如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为 $y = - \frac{1}{40} x^{2} + 10$ ，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF ，则夜景灯带EF的长是m．

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数 $y = a x^{2} + b x (a < 0)$ 刻画，斜坡可以用一次函数 $y = \frac{1}{4} x$ 刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
$\frac{7}{2}$
6
$\frac{15}{2}$
8
$\frac{15}{2}$
n
$\frac{7}{2}$
…

(1)、① $m =$ ▲ ， $n =$ ▲ ；
②小球的落点是A ，求点A的坐标．

(2)、小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系 $y = - 5 t^{2} + v t$ ．
①小球飞行的最大高度为 ▲ 米；
②求v的值．

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18. 某超市购入一批进价为10元 $/$ 盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量 $y$ （盒）与销售单价 $x$ （元）是一次函数关系，下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值．
销售单价 $x /$ 元
$\dots$
12
14
16
18
20
$\dots$
销售量 $y /$ 盒
$\dots$
56
52
48
44
40
$\dots$

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式；

(2)、糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)、若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 $m$ 元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求 $m$ 的值．

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19. 如图，已知二次函数y=ax²+-bx-2的图象经过点（-1，-7），点（3，1）.

(1)、求二次函数的表达式和顶点坐标.

(2)、点P（m，n）在该二次函数图象上，当m=4时，求n的值.

(3)、已知A（0，3），B（4，3），若将该二次函数的图象向上平移k（k>0）个单位后与线段AB有交点，请结合图象，直接写出k的取值范围.

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20. 如图，抛物线y=-﹣x²+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线1经过B，C两点。

(1)、求抛物线的解析式：

(2)、过点C作CD//x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；

(3)、点P是在直线1上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 如图，将抛物线 $C_{1} : y = x^{2} - 4 x$ 沿直线 $l : y = - 2 x$ 向左上方平移，平移后的抛物线记为 $C_{2}$ ，直到其顶点D与原点重合时平移停止．

(1)、若抛物线 $C_{1}$ 与x轴交于A ， B两点（点A在点B的左侧），求出A、B两点的坐标；

(2)、设抛物线 $C_{2}$ 在平移过程中与y轴交于点C ，设其顶点D的横坐标为m ．
①用含m的式子表示顶点D的坐标；
②当点C与原点的距离最大时，求抛物线 $C_{2}$ 的解析式；

(3)、在抛物线 $C_{2}$ 的平移过程中，直线 $l^{'} : y = n$ 与抛物线 $C_{2}$ 交于点M ， N ，与抛物线 $C_{1}$ 交于点P ， Q ．当抛物线 $C_{2}$ 在平移停止后，若 $\frac{P Q}{M N}$ 的值是整数，请直接写出n的最大值．

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22. 抛物线 $y = a x^{2} - 2 x + c (a < 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ 和点 $B$ （点 $C$ 在原点的左侧，点 $B$ 在原点的右侧），与 $y$ 轴交于点 $A$ ， $O A = O C = 3$ ．

(1)、求该抛物线的函数解析式；

(2)、如图1，直线 $y = k x + k + 1 (k < 0)$ 交抛物线于 $D$ ， $E$ 两点， $P$ 为抛物线顶点，连接 $P D$ ， $P E$ ，若 $△ P D E$ 面积为 $\frac{21}{4}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、如图2， $M$ ， $N$ 是直线 $A C$ 上的两个动点， $M$ 在 $N$ 点左边且 $M N = 2 \sqrt{2}$ ， $P$ 是直线下方抛物线上的点， $∠ M P N = 90 °$ ， $t a n ∠ M N P = \frac{1}{2}$ ，求满足条件的 $P$ 点的横坐标．

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23. 抛物线y＝ax²+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C ，连接BC ．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B ， C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M ，交x轴于N ，设点P的横坐标为t ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、用关于t的代数式表示线段PM ，求PM的最大值及此时点M的坐标；

(3)、过点C作CH⊥PN于点H ， S_△_BMN＝9S_△_CHM ，
①求点P的坐标；
②连接CP ，在y轴上是否存在点Q ，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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x	0	1	2	m	4	5	6	7	…
y	0	$\frac{7}{2}$	6	$\frac{15}{2}$	8	$\frac{15}{2}$	n	$\frac{7}{2}$	…

销售单价 $x /$ 元	$\dots$	12	14	16	18	20	$\dots$
销售量 $y /$ 盒	$\dots$	56	52	48	44	40	$\dots$

浙教版数学九年级上册《第1章 二次函数》单元提升测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共7题，共72分）

浙教版数学九年级上册《第1章二次函数》单元提升测试卷