北师大版数学九年级上册《第一章特殊平行四边形》单元提升测试卷

试卷更新日期：2024-08-06 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ．过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ 的垂线交 $B C$ 于点 $E$ ，记 $B E$ 长为 $x$ ， $B C$ 长为 $y$ ．当 $x$ ， $y$ 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、 $x + y$ B、 $x - y$ C、 $x y$ D、 $x^{2} + y^{2}$

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2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE ， AF ， AM平分∠EAF交CD于点M ．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{12}{5}$

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3. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 上一点， $B E = 2$ ， $A E = 3 B E$ ，若 $P$ 是 $A C$ 上一动点，则 $P B + P E$ 的最小值是（）

A、12 B、10 C、8 D、16

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4. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）

A、16 B、6 $\sqrt{7}$ C、12 $\sqrt{7}$ D、30

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5. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O ， $D E ∥ A C$ ， $C E ∥ B D$ ，点M ， N分别是 $A D$ ， $A O$ 的中点，连接 $M N$ ，若四边形 $O C E D$ 的周长是16，则 $M N$ 的长为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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6. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(9 ， 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，以 $O A ， O C$ 为边作矩形 $O A B C$ ．动点 $E ， F$ 分别从点 $O ， B$ 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $O A ， B C$ 向终点 $A ， C$ 移动．当移动时间为4秒时， $A C \cdot E F$ 的值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $9 \sqrt{10}$ C、 $15$ D、 $30$

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7. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法：
① .四边形EFGH一定是平行四边形；
②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形；
③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形．
其中正确的是（）

A、① B、①② C、①③ D、①②③

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 由四个全等的直角三角形（ $△ A B E$ ， $△ B C F$ ， $△ C D G$ ， $△ D A H$ ）和中间一个小正方形 $E F G H$ 组成，连接 $D E$ ．若 $A E = 4$ ， $B E = 3$ ，则 $D E =$ （）

A、5 B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{17}$ D、4

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9. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF ， AE、BF相交于点O ，下列结论：
①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④ $S_{Δ A O B} = S_{四边形 D E O F}$ 中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $\frac{A C}{B D} = \frac{5}{3}$ ．线段 $A B$ 与 $A^{'} B^{'}$ 关于过点 $O$ 的直线 $l$ 对称，点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 在线段 $O C$ 上， $A^{'} B^{'}$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，则 $△ B^{'} C E$ 与四边形 $O B^{'} E D$ 的面积比为．

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形， $△ A D G$ 是正三角形，点F是 $G D$ 的中点，点P是矩形 $A B C D$ 内一点，且 $△ P B C$ 是以 $B C$ 为底的等腰三角形，则 $△ P C D$ 的面积与 $△ F C D$ 的面积的比值是.

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13. 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则 $\frac{E G}{A B}$ = ．

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14. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $B C$ 上，点F是AE的中点， $A B = 8 ， A D = D E = 10$ ，则 $B F$ 的长为．

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16. 如图，点E是正方形 $A B C D$ 内的一点，将 $△ A B E$ 绕点B按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ C B F$ ．若 $∠ A B E = 55 °$ ，则 $∠ E G C =$ 度．

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 如图， $A C$ 为菱形 $A B C D$ 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）

(1)、如图，过点 $B$ 作 $A C$ 的垂线；

(2)、如图 $2$ ，点 $E$ 为线段 $A B$ 的中点，过点 $B$ 作 $A C$ 的平行线．

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18. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC ， BD交于点O ，分别过点C ， D作BD ， AC的平行线交于点E ，连接OE交AD于点F ．

(1)、求证：四边形OCED是菱形；

(2)、若AB＝5，∠BOC＝120°，求菱形OCED的周长．

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19. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

(1)、线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

(2)、当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

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20. 康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理.

(1)、实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；OA ， OB ， OC ， OD
③顺次连结所得的四点得到四边形 $A B C D$ .
于是可以直接判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形，则该判定定理是：.

(2)、猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形 $A B C D$ 是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形.并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程.
已知：如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A C = B D$ .
求证：四边形 $A B C D$ 是矩形.

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21. 【问题情境】：
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP ， EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

(1)、【思考尝试】：
同学们发现，取AB的中点F ，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

(2)、【实践探究】：
希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E ， B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP ，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．

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22. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E、F分别是边 $C D$ 、 $B C$ 上的两点，且 $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 、 $A F$ 分别交正方形的对角线 $B D$ 于G、H两点，将 $△ A D E$ 绕点A顺时针旋转90°后，得到 $△ A B Q$ ，连接 $E F$ ．

(1)、求证： $F A$ 平分 $∠ Q A E$ ；

(2)、求证： $E F = B F + D E$ ；

(3)、试试探索 $B H$ 、 $H G$ 、 $G D$ 三条线段间的数量关系，并加以证明．

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23. 综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题 $.$ 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m$ ， $A D = 8 c m$ ，将矩形纸片进行折叠：

(1)、问题解决：如图 $1$ ，奋斗小组将该矩形沿对角线 $A C$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $B'$ ，则 $D E =$ $c m$ ， $S_{△ A E C} =$ $c m^{2}$ ；

(2)、实践探究：如图 $2$ ，希望小组将矩形 $A B C D$ 沿着 $E F （$ 点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A D$ ，边 $B C$ 上 $）$ 所在的直线折叠，点 $B$ 的对应点为点 $D$ ，连接 $B E$ ，
$①$ 试判断四边形 $B E D F$ 的形状，并说明理由；
$②$ 求折痕 $E F$ 的长．

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北师大版数学九年级上册《第一章 特殊平行四边形》单元提升测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共7题，共72分）

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