重庆市江北区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-08-06 类型：期末考试

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一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．

1. 下列实数中是无理数的是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{22}{7}$ C、 $\sqrt{7}$ D、3.1415

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2. 为了解我区今年参加中考的6000名学生的体质情况，抽查了其中600名学生的体重进行统计分析．下面叙述正确的是（）

A、600名是样本容量 B、从中抽取的600名学生的体重是总体的一个样本 C、每名学生是总体的一个个体 D、以上调查是普查

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3. 如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（）

A、当 $∠ 1 = ∠ 2$ 时，一定有 $a ∥ b$ B、当 $a ∥ b$ 时，一定有 $∠ 1 = ∠ 2$ C、当 $a ∥ b$ 时，一定有 $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ D、当 $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ 时，一定有 $a ∥ b$

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4. 下列长度的三条线段首尾顺次相接，能构成三角形的是（）

A、1cm，2cm，2cm B、2cm，2cm，4cm C、3cm，4cm，8cm D、6cm，8cm，16cm

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5. 不等式 $- 1 - 3 x \leq 2$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 点 $P (2 a - 4, a + 3)$ 在y轴上，则点P的坐标为（）

A、 $(0, 5)$ B、 $(0, 6)$ C、 $(- 10, 0)$ D、 $(5, 0)$

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7. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{cases} x + y = 100 \\ 3 x + 3 y = 100 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x + y = 100 \\ x + 3 y = 100 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} x + y = 100 \\ \frac{1}{2} x + 3 y = 100 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} x + y = 100 \\ 3 x + \frac{1}{3} y = 100 \end{cases}$

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8. 如图，平面直角坐标系中，点 $A (- 3, 0)$ ， $B (- 3, 1)$ ， $C (0, 1)$ ，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为 $M_{1}$ ，第二次相遇时的点为 $M_{2}$ ，第三次相遇时的点为 $M_{3}$ …，则点 $M_{2025}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 3, 1)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(0, 0)$

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9. 如图， $A B ∥ C D$ ， ∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F， $∠ E - ∠ F = 3 a$ ，则∠E=（）

A、 $3 a$ B、 $60 ° + a$ C、 $60 ° + 2 a$ D、 $60 ° + 3 a$

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10. 有依次排列的2个整式：a ， $a + 2$ ，对任意相邻的两个整式，每次都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：a ， 2， $a + 2$ ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作：
①第二次操作后整式串为：a $, 2 - a$ ， 2，a ， $a + 2$ ；
②第12个整式串中，从右往左第二个整式为 $2 - 10 a$ ；
③第2025次操作后，所有的整式的和为 $2 a + 4052$ ；
④第n个整式串比第 $(n + 1)$ 个整式串少 $2^{n - 1}$ 个整式．
以上结论中正确的有（）个

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．

11. 实数9的算术平方根是．

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12. 一个多边形的内角和是外角和的5倍，则该多边形的边数是边．

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13. 在平面直角坐标平面内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是4，并且点P在第四象限，则点P的坐标是．

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14. 已知关于x、y的方程组 ${\begin{cases} x + 3 y = 4 - a \\ x - y = - 3 a \end{cases}$ 的解互为相反数，则 $a^{a}$ 的值是．．

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15. 如图1是一盏可调节台灯，图2为示意图，固定支撑杆AO⊥底座MN于点O ， AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD ， CE组成的∠DCE始终保持不变，现调节台灯使外侧光线 $C D ∥ A B$ ， $C E ∥ M N$ ，若 $∠ B A O = 156 °$ ，则∠DCE的度数为°．

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16. 若关于x的不等式组 ${\begin{cases} 3 x \geq 2 (x + \frac{3}{2}) \\ \frac{x + 3}{2} + \frac{a}{16} \geq x \end{cases}$ 有且仅有2个数解，且关于y的方程 $a y + 9 = 2 y - 3$ 的解是负整数，则符合条件的所有整数a的和是．

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17. 设 $△ A B C$ 的面积为m ，如图E、D ，分别是边AC、BC靠近点A和点C的4等分点，连接BE ， AD ，相交于点O ， $△ B O D$ 与 $△ A O E$ 的面积差记为S ，则S的值为．

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18. 一个三位正整数 $m = \bar{a b c}$ （ $3 \leq a \leq 9$ ， $0 \leq b \leq 9$ ， $0 \leq c \leq 6$ 且a ， b ， c都为整数），若百位数字比个位数字大3，则称这个数m是“三伏数”，并规定 $Q (m) = 2 a - b + c$ ．例如835，∵ $8 - 5 = 3$ ， ∴835是“三伏数”，则 $Q (m) = 2 \times 8 - 3 + 5 = 18$ ．例如612，∵ $6 - 2 \neq 3$ ， ∴612不是“三伏数”．若三位正整数n是“三伏数”，则 $Q (n)$ 的最大值是．若三位正整数n是“三伏数”，且 $Q (n) = 11$ 时，则满足条件的“三伏数”n的最小值是．

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三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19.

(1)、计算： $\sqrt{{(- 3)}^{2}} + \sqrt{5^{2} - 4^{2}} - \sqrt[3]{- 27}$

(2)、解方程： ${(2 x - 1)}^{2} = 49$

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20. 小江与小北在讨论性质“平行于同一条直线的两条直线平行”的证明方法．
小江说道：“我们之前证明两条直线平行时，常在“三线八角”的图形中进行研究．此图中没有“三线八角”的图形，能不能构造出“三线八角”的图形呢？”
小北想了想，说道：“可以构造一条截线MN ，与三条已有直线AB ， CD ， EF ，分别交于点H ， G ， K ，然后就可以用平行线的判定定理进行证明了”．
按照上述同学的说法，完成证明：
已知：如图， $C D ∥ A B$ ， $E F ∥ A B$ ．
求证： $C D ∥ E F$ ．

(1)、在图中画出辅助线MN ，并标出点H ， G ， K；

(2)、补全证明过程：
∵ $C D ∥ A B$ （已知）
∴ $∠ B H G = ∠ C G H$ （▲）
∵ $E F ∥ A B$ （已知）
∴ $∠ B H G =$ _▲_（两直线平行，内错角相等）
∴∠_▲_=∠GKE（等量代换）
∴ $C D ∥ E F$ （▲）

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21.

(1)、解方程组 ${\begin{cases} 2 x - 3 y = 8 \\ 4 x + 5 y = 27 \end{cases}$

(2)、解不等式组 ${\begin{cases} x - 3 (x - 2) \leq 4, \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 . \end{cases}$

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22. 随着生活水平的不断提高，越来越多的中学生拥有了自己的手机，某中学七年级数学课外兴趣小组为了了解中学生每周使用手机的时间，随机抽取了该校部分使用手机的中学生进行调查（问卷调查表如下所示），并利用调查结果绘制了图①②两幅“中学生每周使用手机的时间统计图”（均不完整），请根据统计图表解答以下问题：

(1)、本次接受问卷调查的共有人，在扇形统计图中“D”选项所占的百分比为；

(2)、在扇形统计图中，“B”选项所对应扇形的圆心角为度；

(3)、请补全条形统计图；

(4)、若该校共有6500名中学生，请你估计该校每周使用手机的时间在“A”选项的有多少名学生，并请根据上述图表信息对中学生使用手机提一条合理化建议．

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23. 如图，直线 $A E ∥ D F$ ， ∠ABC的平分线BD交直线CF于点D ．

(1)、若 $∠ A B C = 82 °$ ， $∠ B C F = 60 °$ ，求∠D的度数．

(2)、求证： $∠ A B D = \frac{1}{2} (∠ B A E + ∠ B C F)$

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24. “恒都生态牛肉”享誉东南亚，不少城市都设有“恒都生态牛肉”专卖店，某专卖店经销精选牛肉和普通牛肉，其中精选牛肉每斤进价比普通牛肉多5元，该专卖店用3800元一次购进普通牛肉50斤和精选牛肉40斤进行销售．

(1)、求精选牛肉和普通牛肉每斤购进单价各多少元？

(2)、本次所购进牛肉该专卖店将普通牛肉以每斤60元价格销售，精选牛肉以每斤80元价格销售，普通牛肉很快售完，精选牛肉销售60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使得本次购进牛肉销售利润不少于2080元，剩余精选牛肉每斤售价最少打几折？

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25. 阅读材料：对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点 $P (x, y)$ ，给出如下定义：将点 $P (x, y)$ 平移到 $P^{'} (x + a, y - a)$ 称为将点P进行“a型平移”，点 $P^{'}$ 称为将点P进行“a型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“a型平移”称为将图形G进行“a型平移”．
例如：将点 $P (x, y)$ 平移到 $P^{'} (x + 1, y - 1)$ 称为将点P进行“1型平移”，将点 $P (x, y)$ 平移到 $P^{'} (x - 1, y + 1)$ 称为将点P进行“-1型平移”．
已知点 $A (1, 1)$ 和点 $B (3, 1)$ ．

(1)、将点 $A (1, 1)$ 进行“1型平移”后的对应点 $A^{'}$ 的坐标为；将线段AB进行“-1型平移”后得到线段 $A^{'} B^{'}$ ，线段 $A^{'} B^{'}$ 的中点坐标为．

(2)、若线段AB进行“a型平移”后与坐标轴有公共点，求a的取值范围．

(3)、已知点 $C (4, 0)$ ， $D (6, - 2)$ ，将线段CD进行“1型平移”后得到的对应线段为 $C^{'} D^{'}$ ，在坐标轴上确定一点M ，使得 $S_{△ M C^{'} D^{'}} = 5 S_{△ A B O}$ ，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一种情况写出求解过程．

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26. 如图直线 $P Q ∥ M N$ ，一副教学三角板中 $∠ A B C = ∠ C D E = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ D C E = ∠ D E C = 45 °$ ，现按如图1放置，其中点E在直线PQ上，点B ， C均在直线MN上．

(1)、如图1，当CE平分∠ACM时，求 $\frac{∠ C E Q}{∠ P E D}$ 的值．

(2)、若将三角板ABC绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A ， C的对应点分别为F ， G），设旋转时间为t秒．
①在旋转过程中，如图2所示，当边 $B G ∥ D E$ ，求 $t (0 \leq t \leq 60)$ 的值．
②若三角板ABC绕点B旋转的同时，三角板CDE绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C ， D的对应点为H ， K），请直接写出当边 $B G ∥ H K$ 时 $t (0 \leq t \leq 120)$ 的值．

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