浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-08-06 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 如所示图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )

A、 B、
C、 D、

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2. 下列方程中，一定是关于 $x$ 的一元二次方程是（）

A、 $2 a x^{2} + x + 1 = 0$ B、 $\frac{1}{x} + x = 0$ C、 $x y + x = 0$ D、 $x^{2} + x = 0$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ B、 $4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = 2$ C、 $\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1$ D、 $\sqrt{4} \div \sqrt{2} = \sqrt{2}$

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4. 若用反证法证明命题“在 $△ A B C$ 中，若 $A C > A B$ ，则 $∠ B > ∠ C$ ”，则应假设（）

A、 $∠ B > ∠ C$ B、 $∠ B \leq ∠ C$ C、 $A C > ∠ A B$ D、 $A C \leq A B$

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5. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是( )

A、 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ B、 $x^{2} + 6 x + 9 = 0$ C、 $4 x^{2} = 3 x + 2$ D、 $3 x^{2} - x + 2 = 0$

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6. 小浙同学将一组数据准确地代入方差公式： $S^{2} = \frac{(6 - \bar{x})^{2} + (5 - \bar{x})^{2} + (5 - \bar{x})^{2} + (4 - \bar{x})^{2}}{4}$ ，下列对这组数据的描述正确的是( )

A、样本容量是 $4$ B、众数是 $4$ C、平均数是 $4$ D、中位数是 $4$

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7. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A (x_{1}, y_{1})$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、图象一定不经过 $(1, 0)$ B、图象一定经过 $(- y_{1}, - x_{1})$ C、图象一定经过 $(x_{1} + 1, y_{1} - 1)$ D、图象一定经过 $(- x_{1}, - y_{1})$

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8. 如图， $∠ B A C$ 的平分线交 $△ A B C$ 的中位线 $D E$ 于点 $F$ ，若 $A C = 10$ ， $A B = 6$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 二次函数 $y = a x^{2} + a x + c^{2} + 1$ （ $a, c$ 为常数，且 $a \neq 0$ ）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，点 $F$ 在 $C D$ 的延长线上， $A D$ 平分 $∠ E A F$ ，若要知道 $△ A E F$ 的面积，则需要知道（）

A、 $C E$ 的长 B、矩形 $A B C D$ 的面积 C、 $△ A D F$ 的面积 D、 $∠ E A F$ 的度数

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 请写出一个 $x$ 的值：，使二次根式 $\sqrt{x - 2024}$ 在实数范围内有意义．

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12. 六边形的内角和等于度．

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13. 学校男子篮球队的10位队员的身高如表：
身高（单位：cm）
176
177
179
180
人数
1
4
3
2
这10位队员身高的中位数是．

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14. 在二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 中，当 $0 < x < 3$ 时，则 $y$ 的取值范围是．

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15. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $A B$ 上的一点，将菱形沿 $D E$ 折叠后，点 $A$ 恰好落在边 $B C$ 上的 $F$ 处．若 $E F$ 垂直对角线 $B D$ ，则 $∠ A =$ 度．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y_{1} = | x |$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $A (1, y_{1}) .$ 若 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $x$ 的取值范围是．

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{2} \times \sqrt{6}$ ；

(2)、 $(2 - \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})$ ．

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18. 解方程：

(1)、 $x^{2} + 4 = 4 x$ ；

(2)、 $x (x + 1) = x + 1$ ．

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19. 学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级，其中相应等级的得分依次记为 $100$ 分， $90$ 分， $80$ 分， $70$ 分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图．

请你根据以上提供的信息解答下列问题：

(1)、此次竞赛中，一班成绩在 $C$ 级以上 $($ 包括 $C$ 级 $)$ 的人数为；

(2)、将表格补充完整．
班级成绩
平均数 $($ 分 $)$
中位数 $($ 分 $)$
众数 $($ 分 $)$
一班
_▲_
$90$
_▲_
二班
$87$
_▲_
$80$

(3)、请根据你在 $(2)$ 中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由．

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20. 定义：若两个二次根式 $m$ ， $n$ 满足 $m \cdot n = p$ ，且 $p$ 是有理数．则称 $m$ 与 $n$ 是关于 $p$ 的美好二次根式．

(1)、若 $m$ 与 $\sqrt{2}$ 是关于6的美好二次根式，求 $m$ 的值：

(2)、若 $1 - \sqrt{3}$ 与 $4 + \sqrt{3} m$ 是关于 $n$ 的美好二次根式，求 $m$ 和 $n$ 的值．

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21. 把一个足球垂直地面向上踢， $t ($ 秒 $)$ 后该足球的高度 $ℎ ($ 米 $)$ 适用公式 $ℎ = 20 t - 5 t^{2}$ ．

(1)、经多少秒后足球回到地面？

(2)、经多少秒时球的高度为 $15$ 米？

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22. 在边长为1的菱形 $A B C D$ 中，以点 $B$ 为圆心， $B A$ 长为半径画弧，交对角线 $B D$ 于点 $E$ ．

(1)、若 $A E = D E$ 时，求 $∠ A B D$ 的度数：

(2)、设 $A B = k \cdot A E$ ，
①当 $k = 2$ 时，求 $B D$ 的长；
②用含 $k$ 的代数式表示 $\frac{D E}{B E}$ ．

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23. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ ．

(1)、若点 $(- 1, a)$ ， $(a + 4, 3)$ 都在该反比例函数图象上，
①求 $k$ 的值；
②当 $x > 1$ 时，求 $y$ 的取值范围；

(2)、若点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 都在该反比例函数图象上，且 $x_{1} > 1$ ， $k > 0$ ， $x_{1} + x_{2} < 0$ ，小浙同学说“此时不能判断 $y_{1} - y_{2}$ 与 $2 k$ 的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到 $y_{1} - y_{2} < 2 k$ ”，你认为谁的说法正确，请说明理由．

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24. 四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $E$ 为线段 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E$ ，交射线 $B C$ 于点 $F$ ，以 $D E$ 、 $E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ，连接 $C G$ ．

(1)、如图 $1$ ，求证：矩形 $D E F G$ 是正方形；

(2)、若 $A B = 3$ ， $C E = 2 \sqrt{2}$ ，求 $C G$ 的长度；

(3)、当线段 $D E$ 与正方形 $A B C D$ 的某条边的夹角是 $30 °$ 时，求 $∠ E F C$ 的度数．

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班级成绩	平均数 $($ 分 $)$	中位数 $($ 分 $)$	众数 $($ 分 $)$
一班	_▲_	$90$	_▲_
二班	$87$	_▲_	$80$

身高（单位：cm）	176	177	179	180
人数	1	4	3	2