四川省乐山市市中区2023-2024学年七年级（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-08-06 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列各式中，是方程的是( )

A、 $3 - 2 = 1$ B、 $y - 5$ C、 $3 m > 2$ D、 $x = 5$

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2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 生活中，如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的( )

A、稳定性
B、全等性
C、灵活性
D、对称性

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4. 如图，已知 $△ A B C$ ≌ $△ A D C$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ A C D = 60 °$ ，则 $∠ D =$ ( )

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $90 °$

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5. 已知关于x的方程 $3 x - 5 = x + a$ 的解是 $x = 3$ ，则a的值等于（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、2 D、1

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6. 如图是某小区花园内用正 $n$ 边形铺设的小路的局部示意图，若用 $3$ 块正 $n$ 边形围成的中间区域是一个小正三角形，则 $n =$ ( )

A、 $12$ B、 $10$ C、 $8$ D、 $6$

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7. 已知 $y = k x + b$ ，当 $x = 1$ 时， $y = 3$ ，当 $x = - 1$ 时， $y = 5 .$ 则 $x = - 4$ 时， $y =$ ( )

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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8. 已知关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} x < 2 \\ x \geq m \end{array}$ ，给出下列锥断：
$①$ 当 $m = - 3$ 时，不等式组的解集是 $- 3 \leq x < 2$ ；
$②$ 若不等式组的解集是 $0 \leq x < 2$ ，则 $m = 0$ ；
$③$ 若不等式组无解，则 $m > 2$ ；
$④$ 若不等式组的整数解只有 $- 1$ ， $0$ ， $1$ ，则 $- 2 < m \leq - 1$ ．
其中所有正确推断的序号是( )

A、 $① ② ③$ B、 $① ② ④$ C、 $① ③ ④$ D、 $① ② ③ ④$

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9. 对于有理数 $x$ 、 $y$ ，定义新运算： $x * y = a x + b y + c$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是常数，例： $3 * 4 = 3 a + 4 b + c .$ 已知 $2 * 3 = 22$ ， $3 * 8 = 50$ ，那么 $1 * (- 2) =$ ( )

A、 $- 8$ B、 $- 7$ C、 $- 6$ D、 $- 5$

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10. 如图，已知 $∠ A O B = α$ ， $C$ 是 $∠ A O B$ 内部的一点，且 $O C = 3$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $O A$ 、 $O B$ 上的动点，若 $△ C D E$ 周长的最小值等于 $3$ ，则 $α =$ ( )

A、 $45 °$
B、 $40 °$
C、 $35 °$
D、 $30 °$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 已知方程 $2 x + y - 3 = 0$ ，用含 $x$ 的代数式表示 $y$ 为： $y =$ ．

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12. 若不等式 $(a + 3) x > 1$ 的解集为 $x < \frac{1}{a + 3}$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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13. 若三条线段a，b，c可组成三角形，且 $a = 4 ， b = 7$ ， c是奇数，则c的值为．

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14. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 36 °$ ， $∠ A C B = 108 °$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ，则 $∠ D A E =$ ．

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15. 明代时， $1$ 斤 $= 16$ 两，故有“半斤八两”之说 $. 《$ 算法统宗 $》$ 中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤 $.$ 设共有 $n$ 个客人，根据题意，所列的方程是．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 边的中点，点 $E$ 为 $A B$ 边上，且 $A E = 2 B E$ ， $A D$ 与 $C E$ 相交于点 $F$ ，若 $△ A E F$ 的面积比 $△ C D F$ 的面积大 $1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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三、计算题：本大题共1小题，共9分。

17. 解方程： $\frac{y + 2}{4} - \frac{2 y - 1}{6} = 1$ ．

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四、解答题：本题共9小题，共93分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18. 解方程组 $\{\begin{array}{l} 2 a + b = 0 \\ 4 a + 3 b = 6 \end{array}$ ．

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19. 如图，在边长为 $1$ 个单位长度的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的顶点都在格点上．

(1)、平移 $△ A B C$ ，使得顶点 $A$ 与点 $D$ 重合，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $△ A B C$ 关于点 $O$ 成中心对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 解不等式组： $\{\begin{array}{l} 1 - 3 (x - 1) < 8 - x, \\ \frac{x - 3}{2} + 3 \geq x . \end{array}$ ，并在数轴上表示它的解集．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $B C$ 、 $A B$ 上，将 $△ B D E$ 沿直线 $D E$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $F$ 处， $F D$ 向右平移若干单位长度后恰好能与边 $A C$ 重合，连结 $A F$ ．

(1)、若 $∠ B D E = 35 °$ ，求 $∠ C$ 的度数；

(2)、若 $B C = 6$ ，求四边形 $A C D F$ 的周长．

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22. 为奖励在数学学科素养比赛中表现突出的同学，学校准备购买甲，乙两种学具作为奖品，已知甲种学具比乙种学具的单价少 $10$ 元，买 $2$ 件甲种学具和 $3$ 件乙种学具共需 $130$ 元．

(1)、甲、乙两种学具的单价分别是多少元？、

(2)、学校根据实际情况，需要购买甲，乙两种学具共 $60$ 件，所需费用不超过 $1620$ ，且乙种学具不少于甲种学具的 $2$ 倍，请问共有多少种购买方案，哪种方案最省钱？

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23. 高斯是德国著名数学家，是被公认的世界最著名的数学家之一，享有“数学王子”的美誉 $！$ “高斯函数”： $y = [x]$ ，也称为取整函数，即 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，如： $[- 2.5] = - 3$ ， $[4.8] = 4$ ，根据这个规定，回答下列问题：

(1)、填空 $[π] =$ ， $[- 5.8] =$ ；

(2)、若 $[x - 1] = 2024$ ，求 $x$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{2 x - 5}{3} \leq x - 2 \\ [a] - x > 0 \end{array}$ 恰有 $3$ 个整数解，求 $a$ 的取值范围．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线相交于点 $P$ ， $△ A B C$ 的外角 $∠ D B C$ 与 $∠ E C B$ 的平分线相交于点 $Q$ ，延长 $B P$ 、 $Q C$ 相交于点 $F$ ．

(1)、若 $∠ A = 50 °$ ，求 $∠ B P C$ 的度数；

(2)、在 $△ B Q F$ 中，若 $∠ Q = 3 ∠ F$ ，求 $∠ A$ 的度数．

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25. 已知关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = m + 2, \\ 2 x + y = m - 1 . \end{array}$

(1)、若方程组的解满足 $x - y = - 1$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $x$ 、 $y$ 、 $m$ 都是非负数，且 $n = 2 x + 3 y - m$ ，求 $n$ 的取值范围；

(3)、无论有理数 $m$ 取何值，关于 $x$ 、 $y$ 的方程 $2 x + y - m x + m = 0$ 总有一个固定的解，请直接写出这个固定解．

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26. 将一副三角板按如图 $10$ 放置，其中点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一直线上， $∠ A C B = ∠ E = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ D = 45 °$ ．

(1)、若 $A B$ 、 $C E$ 相交于点 $F$ ，求 $∠ A F C$ 的度数；

(2)、将图中的 $△ A B C$ 绕点 $C$ 以每秒 $5 °$ 的速度顺时针旋转得 $△ A^{'} B^{'} C$ ，设运动时间为 $t$ 秒 $.$ 当 $t$ 为何值时， $A^{'} B^{'}$ 与 $C D$ 第一次平行；

(3)、 $△ A B C$ 绕点 $C$ 以每秒 $5 °$ 的速度顺时针旋转的同时， $△ C D E$ 绕点 $C$ 以每秒 $4 °$ 的速度逆时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得 $△ C D^{'} E^{'}$ ，旋转过程中若射线 $C B^{'}$ 、 $C D^{'}$ 、 $C E^{'}$ 中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，设运动时间为 $t$ 秒，请求出满足条件的 $t$ 值．

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