河北省邯郸市广平县2023-2024学年七年级（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-08-06 类型：期末考试

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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 如图，要把河中的水引到水池 $A$ 中，应在河岸 $B$ 处 $(A B ⊥ C D)$ 开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是( )

A、两点之间线段最短 B、点到直线的距离B. C、两点确定一条直线 D、垂线段最短

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2. 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )

A、 $1$ ， $2$ ， $4$ B、 $2$ ， $3$ ， $4$ C、 $2$ ， $5$ ， $6$ D、 $3$ ， $4$ ， $5$

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3. 把 $0.00258$ 写成 $a \times 10^{n} (1 \leq a < 10, n$ 为整数 $)$ 的形式，则 $n$ 为( )

A、 $- 1$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、 $2$

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4. 由 $2 x < 6$ ，得 $x < 3$ ，其根据是( )

A、不等式的两边都加上 $($ 或都减去 $)$ 同一个数或同一个整式，不等号方向不变 B、不等式的两边都乘以 $($ 或都除以 $)$ 同一个正数，不等号的方向不变 C、不等式的两边都乘以 $($ 或都除以 $)$ 同一个负数，不等号的方向改变 D、移项

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5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(    )
$① a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$                $② a (x - y) = a x - a y$
$③ x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$              $④ (x + 1) (x + 3) = x^{2} + 4 x + 3$

A、 $①$ B、 $① ③$ C、 $② ④$ D、 $① ② ③ ④$

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6. 在等式 $x^{2} \cdot □ = x^{8}$ 中，“ $□$ ”所表示的代数式为( )

A、 $x^{6}$ B、 $- x^{6}$ C、 $(- x)^{7}$ D、 $x^{7}$

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7. 若 $(x - 3) (x - 5) = x^{2} + m x + 15$ ，则 $m$ 的值为( )

A、 $- 8$ B、 $- 5$ C、 $- 2$ D、 $2$

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8. 如图，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，下列条件不能判定 $A B / / C D$ 的个数是 $()$
$① ∠ 1 = ∠ 2$ $② ∠ 3 = ∠ 4$
$③ ∠ D A B + ∠ B = 180 °$ $④ ∠ D = ∠ 5$

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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9. 下列条件能说明 $△ A B C$ 是直角三角形的是( )

A、 $∠ A = ∠ B = 3 ∠ C$ B、 $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ C、 $∠ A$ ： $∠ B$ ： $∠ C = 3$ ： $4$ ： $5$ D、 $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 60 °$

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10. 若 $x^{2} - a x - 2$ 可以分解为 $(x - 2) (x + b)$ ，则 $a - b$ 的值为( )

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $0$

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11. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x < 2 \\ x > a - 1 \end{array}$ 有解，则a的取值范围是（）

A、 $a \leq 3$ B、 $a < 3$ C、 $a \geq 3$ D、 $a > 3$

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12. 如图，将一张三角形纸片 $A B C$ 的三角折叠，使点 $A$ 落在 $△ A B C$ 外的 $A^{'}$ 处，折痕为 $D E$ ，若 $∠ A = α$ ， $∠ C E A^{'} = β$ ， $∠ B D A^{'} = γ$ ，那么下列式子中正确的是( )

A、 $γ = 180 ° - α - β$ B、 $γ = α + 2 β$
C、 $γ = 2 α + β$ D、 $γ = α + β$

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二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13. 已知三角形的两边长分别为 $3$ 和 $5$ ，则第三边 $x$ 的范围是．

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14. 一元一次不等式 $5 x + 17 \geq 0$ 的负整数解是．

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15. 若 $a + b = - 5$ ， $a b = - 10$ ，则代数式 $a^{3} b + 2 a^{2} b^{2} + a b^{3}$ 的值为．

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16. 对于有理数 $m$ ，我们规定 $[m]$ 表示不大于 $m$ 的最大整数，例如 $[1.2] = 1$ ， $[3] = 3$ ， $[- 2.5] = - 3$ ，若 $[\frac{x + 2}{3}] = 5$ ，则 $x$ 的取值范围是．

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 解方程组或不等式：

(1)、 $\{\begin{array}{l} 2 x - y = 3 \\ 3 x + 5 y = 11 \end{array}$ ；

(2)、 $\frac{x + 3}{5} < \frac{2 x - 5}{3} + 1$ ．

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18. 根据要求，解答下列各式：

(1)、因式分解： $18 a^{2} b - 8 b$ ；

(2)、先化简，后求值： $(2 x - 1) (2 x + 1) + 4 x^{3} - x (1 + 2 x)^{2}$ ，其中 $x = - 3$ ．

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19. 请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是三角形 $A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 上的点， $A B / / E F$ ， $∠ D E F = ∠ B$ ．
求证： $∠ A E D = ∠ C$ ．

证明： $∵ A B / / E F$ ，
$∴$ _▲_ $= ∠ E F C ($ _▲_ $) .$
$∵ ∠ D E F = ∠ B$ ，
$∴ ∠ D E F = ∠ E F C ($ _▲_ $) .$
$∴$ _▲_ $($ _▲_ $) .$
$∴ ∠ A E D = ∠ C$ ．

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20. 整式 $3 (\frac{1}{3} - m)$ 的值为 $P$ ．

(1)、当 $m = 4$ 时，求 $P$ 的值；

(2)、若 $P$ 的取值范围如图所示，求 $m$ 的最小负整数值．

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21. 关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} x - y = 1 + 3 m \\ x + 3 y = 1 + m \end{array}$ 的解 $x$ 与 $y$ 满足条件 $x + y \leq 4$ ，求 $2 m + 5$ 的最大值．

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22. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $B O$ 、 $C O$ 是角平分线．

(1)、 $∠ A B C = 40 °$ ， $∠ A C B = 80 °$ ，求 $∠ B O C$ 的度数，并说明理由．

(2)、题 $(1)$ 中，如将“ $∠ A B C = 40 °$ ， $∠ A C B = 80 °$ ”改为“ $∠ A = 60 °$ ”，求 $∠ B O C$ 的度数．

(3)、若 $∠ A = m °$ ，直接写出 $∠ B O C$ 的度数．

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23. 为了欢度元宵佳节，我市在时代公园安装小彩灯和大彩灯 $.$ 已知：安装 $5$ 个小彩灯和 $4$ 个大彩灯共需 $150$ 元；安装 $7$ 个小彩灯和 $6$ 个大彩灯共需 $220$ 元；

(1)、安装 $1$ 个小彩灯和 $1$ 个大彩灯各需多少元？

(2)、若安装小彩灯和大彩灯的数量共 $250$ 个，费用不超过 $4000$ 元，则最多安装大彩灯多少个？

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24. 有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示 $(m > 0)$ ，面积分别为 $S_{甲}$ 和 $S_{乙}$ ．

(1)、 $①$ 计算： $S_{甲} =$ ， $S_{乙} =$ ；
$②$ 用“ $<$ ”，“ $=$ ”或“ $>$ ”填空： $S_{甲}$ $S_{乙}$ ．

(2)、若一个正方形纸片的周长与乙长方形的周长相等，面积为 $S_{正}$ ．
$① S_{正} =$ _▲_；
$② S_{正}$ 与 $S_{乙}$ 的差与 $m$ 有没有关系，并通过计算说明理由．

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