湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-08-06 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 $35 °$ ，则另一个锐角的度数是（）

A、 $145 °$ B、 $125 °$ C、 $65 °$ D、 $55 °$

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2. 在平面直角坐标系中，点 $P$ $(- 1 ， m^{2} + 1)$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列命题中正确的是（）

A、有一组邻边相等的四边形是菱形 B、有一个角是直角的平行四边形是矩形 C、对角线垂直的平行四边形是正方形 D、一组对边平行的四边形是平行四边形

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5. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（　　）

A、17 B、18 C、19 D、20

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $C D$ 边上一点，F为 $B C$ 延长线上一点，且 $C E = C F$ ，连接 $E F$ .给出下列至个结论：① $B E = D F$ ；② $B E ⊥ D F$ ；③ $E F = \sqrt{2} C F$ ；④ $∠ E D F = ∠ E B F$ ；⑤ $F D = 2 E C$ .其中正确结论的个数是（）

A、 $2 个$ B、 $3 个$ C、 $4 个$ D、 $5 个$

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7. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A与点 $A_{1}$ 关于 $x$ 轴对称，点A与点 $A_{2}$ 关于 $y$ 轴对称.已知点 $A_{1} (1 ， 2)$ ，则点 $A_{2}$ 的坐标是（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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8. 已知直线 $y = 4 x + 8$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，则 $△ A O B$ 的面积为 $(O$ 为坐标原点 $)$ ( )

A、 $8$ B、 $6$ C、 $4$ D、 $2$

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9. 对于一次函数 $y = - x + 2$ ，结论如下：
①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象与x轴的交点坐标是 $(2, 0)$
③将函数的图象向下平移2个单位长度可以得到 $y = - x$ 的图象；
④若两点 $A (1, y_{1})$ ， $B (3, y_{2})$ 在该函数图象上，则 $y_{2} < y_{1}$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度 $ℎ$ 与注水时间 $t$ 之间的函数关系图象可能是( )

A、 B、
C、 D、

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11. 在直角坐标系中，点 $P (- 4 ， 3)$ 到原点的距离是．

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12. 某班有 $40$ 名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是 $0.45$ ，则该班学会炒菜的学生人数是．

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13. 函数 $y = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是．

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14. 若正多边形的一个内角等于150°，则这个正多边形的边数是

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15. 已知菱形的周长为 $40$ ，一条对角线长为 $12$ ，则这个菱形的面积是．

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16. 若直线 $a$ 平行于直线 $y = 5 x + 3$ ，且经过点 $(2, - 1)$ ，则直线 $a$ 的解析式为．

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17. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点 $C$ 落在 $A B$ 边上的点 $E$ 处，已知 $B C = 12$ ， $∠ B = 30 °$ ，则 $D E =$ ．

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18. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 与 $y = x + 2$ 的图象相交于点 $P (2,4)$ ，则不等式 $k x + b > x + 2$ 的解集是．

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三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19. 一次函数的图象经过 $M (3,2)$ ， $N (- 2, - 8)$ 两点．

(1)、求此函数的表达式．

(2)、试判断点 $P (3,4)$ 是否在此函数的图象上，并说明理由．

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20. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．

求证：

(1)、△ABE≌△CDF；

(2)、四边形BFDE是平行四边形．

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21. 如图所示， $O$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线的交点， $D E / / A C$ ， $C E / / B D$ ．

(1)、求证： $O E ⊥ D C$ ．

(2)、若 $∠ A O D = 120 °$ ， $D E = 2$ ，求矩形 $A B C D$ 的面积．

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22. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢” $.$ 又到了放风筝的最佳时节．某校八年级 $(1)$ 班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 $C E ($ 如图 $)$ ，他们进行了如下操作： $①$ 测得水平距离 $B D$ 的长为 $8$ 米； $②$ 根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C$ 的长为 $17$ 米； $③$ 牵线放风筝的小明的身高为 $1.5$ 米．

(1)、求风筝的垂直高度 $C E$ ；

(2)、如果小明想风筝沿 $C D$ 方向下降 $9$ 米，则他应该往回收线多少米？

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23. 在 $2024$ 年 $3$ 月 $15$ 日消费者权益日，某校对全校 $2000$ 名学生进行消费者权益知识竞答 $.$ 从中随机抽取 $m$ 名学生的成绩进行统计分析，把成绩分成四个等级 $A$ ： $60 < x \leq 70$ ， $B$ ： $70 < x \leq 80$ ， $C$ ： $80 < x \leq 90$ ， $D$ ： $90 < x \leq 100$ ，并根据分析结果绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图：

请根据图表信息，解答下列问题：

(1)、抽取的学生人数 $m =$ ．

(2)、请将频数分布直方图补充完整．

(3)、扇形 $C$ 的圆心角的度数为．

(4)、 $90$ 分以上 $($ 不含 $90$ 分 $)$ 为优秀，请估计该校获得优秀的总人数约为多少人？

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24. 如图，在平面直角坐标系xOy中， $A (5, 3)$ ， $B (3, 1)$ ， $C (1, 2)$ ．将三角形ABC向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，分别与点A ， B ， C对应．

(1)、画出平移后的三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积；

(3)、若点P在y轴上，以 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， P为顶点的三角形面积为2，求点P的坐标．

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25. 某商店出售普通练习本和精装练习本， $15$ 本普通练习本和 $10$ 本精装练习本销售总额为 $145$ 元； $20$ 本普通练习本和 $5$ 本精装练习本销售总额为 $110$ 元．

(1)、求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少元？

(2)、该商店计划再次购进 $200$ 本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的 $3$ 倍，已知普通练习本的进价为每本 $2$ 元，精装练习本的进价为每本 $7$ 元，设购买普通练习本 $x$ 本，获得的利润为 $W$ 元；
$①$ 求 $W$ 关于 $x$ 的函数关系式 $($ 并写出自变量的取值范围 $)$ ；
$②$ 该商店应如何进货，才能使销售总利润最大？并求出最大利润．

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26. 问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是 $180 °$ ，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图 $1$ ，四边形 $A B C D$ 中， $B C$ 是一条对角线， $A B = A C$ ， $D B = D C$ ，且 $∠ A + ∠ D = 180 °$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D B C$ 是关于 $B C$ 的互补三角形．

(1)、初步思考：如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $D$ 、 $E$ 为 $△ A B C$ 外两点， $E B = E C$ ， $∠ E B C = 45 °$ ， $△ D B C$ 为等边三角形．则 $△ A B C$ 关于 $B C$ 的互补三角形是，并说明理由．

(2)、实践应用：如图 $3$ ，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 10 .$ 点 $E$ 在 $A B$ 边上，点 $F$ 在 $A D$ 边上，若 $△ B E F$ 与 $△ B C F$ 是关于 $B F$ 互补三角形，试求 $A E$ 的长．

(3)、思维探究：如图 $4$ ，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 10 .$ 点 $E$ 是线段 $A B$ 上的动点，点 $P$ 是平面内一点， $△ B E P$ 与 $△ B C P$ 是关于 $B P$ 的互补三角形，直线 $C P$ 与直线 $A D$ 交于点 $F .$ 在点 $E$ 运动过程中，线段 $B E$ 与线段 $A F$ 的长度是否会相等？若相等，请直接写出 $A E$ 的长；若不相等，请说明理由．

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