贵州省六盘水市2023-2024学八年级（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-08-06 类型：期末考试

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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列各实数中，无理数是( )

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $π$ C、 $\sqrt{9}$ D、 $3.3 \overset{\cdot}{3}$

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2. 下列图形是中心对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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3. 六盘水市位于贵州西部乌蒙山区，是国家“三线”建设时期发展起来的一座能源原材料工业城市，六盘水市共辖 $4$ 个县级行政区 $($ 六枝特区、盘州市、水城区、钟山区 $)$ ，全市总人口数约 $3618200$ 人，将 $3618200$ 这个数用科学记数法表示是( )

A、 $36.182 \times 10^{5}$ B、 $3.6182 \times 10^{5}$ C、 $3.6182 \times 10^{6}$ D、 $0.36182 \times 10^{7}$

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4. 已知等腰三角形的一边长为 $8$ ，另一边长为 $5$ ，则它的周长是( )

A、 $18$ B、 $21$ C、 $18$ 或 $21$ D、 $26$

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5. 若 $a < b$ ，则下列不等式正确的是( )

A、 $a - b < 0$ B、 $a - 8 > b + 8$ C、 $- 5 a < - 5 b$ D、 $\frac{a}{2} > \frac{b}{2}$

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6. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )

A、 $(m + n) (m - n) = m^{2} - n^{2}$ B、 $m^{2} + 2 m + 1 = (m + 1)^{2}$
C、 $m^{2} + 2 m - 1 = m (m + 2) - 1$ D、 $m (m - 2) = m^{2} - 2 m$

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7. 在平面直角坐标系中，点 $P (2 ， - 3)$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8. 在一次体检中，测得某校八 $(1)$ 班第一组同学的体重 $($ 单位： $k g)$ 分别为： $48$ ， $55$ ， $58$ ， $55$ ， $52$ ， $50$ ， $56$ ， $60 .$ 则该组同学体重的中位数是( )

A、 $50 k g$ B、 $52 k g$ C、 $55 k g$ D、 $56 k g$

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9. 若分式 $\frac{x - 3}{x + 4}$ 无意义，则实数 $x$ 的值是( )

A、 $x = 3$ B、 $x = - 3$ C、 $x = 4$ D、 $x = - 4$

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10. 如图所示，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点 $.$ 若 $O E = 6 c m$ ，则 $A B$ 的长是( )

A、 $9 c m$ B、 $12 c m$ C、 $15 c m$ D、 $18 c m$

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11. 如图，在已知的 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图： $①$ 分别以点 $B$ 和点 $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ ， $N$ ； $②$ 作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $C D .$ 若点 $D$ 是 $A B$ 的中点，则 $∠ A C B$ 的度数是( )

A、 $90 °$
B、 $95 °$
C、 $100 °$
D、 $105 °$

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12. 如图，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3} \dots$ 在直线 $y = x$ 上，点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ ， $C_{3} \dots$ 在直线 $y = 2 x$ 上，以它们为顶点依次构造第一个正方形 $A_{1} C_{1} A_{2} B_{1}$ ，第二个正方形 $A_{2} C_{2} A_{3} B_{2} \dots$ ，若点 $A_{2}$ 的横坐标是 $1$ ，则点 $B_{6}$ 的坐标是( )

A、 $(6,6)$ B、 $(6,12)$ C、 $(32,16)$ D、 $(64,32)$

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二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

13. 约分： $\frac{6 a^{2} b}{2 a b} =$ ．

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14. 一个多边形的内角和等于其外角和的四倍，则这个多边形是边形．

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15. 因式分解： $x^{3} - {xy}^{2}$ =.

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16. 如图，边长为 $15$ 的等边三角形 $A B C$ 中， $M$ 是高 $A H$ 上的一个动点，连接 $B M$ ，同时将线段 $B M$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B N$ ，连接 $H N$ ，则点 $M$ 在运动的过程中，线段 $H N$ 长度的最小值是．

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三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.

(1)、计算 $： \sqrt[3]{8} - (- 1)^{2024} - (π - 3.14)^{0}$ ；

(2)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 x < x + 1 \\ \frac{x - 2}{3} > \frac{x}{2} \end{array}$ ．

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18. 在如图所示的平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，按要求解答下列问题：

(1)、分别写出 $B$ ， $C$ 两点的坐标；

(2)、将 $△ A B C$ 沿 $y$ 轴方向向上平移 $5$ 个单位长度后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $180 °$ 后得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请画出旋转后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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19. “书籍是人类文明进步的阶梯”，阅读时间已成为衡量学生学习状态的重要指标之一，为了解某校学生一周内课外阅读时间的情况，随机对部分学生一周内课外阅读时间进行了调查，将收集到的数据进行整理并制成如下两幅统计图 $($ 图 $1$ 和图 $2)$ ．

(1)、图 $1$ 中 $m$ 的值是，此次抽查数据的众数是小时；

(2)、求该校此次抽查的学生一周内平均课外阅读时间；

(3)、若该校共有 $1000$ 名学生，请你估计该校学生一周内课外阅读时间不少于 $6$ 小时的人数．

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20. 如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ 和 $C D$ 上， $A E = C F$ ．

(1)、求证：四边形 $D E B F$ 是平行四边形；

(2)、若 $B F$ 平分 $∠ A B C$ ，且 $B C = 5$ ， $B E = 3$ ，求▱ $A B C D$ 的周长．

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21. 每年的 $3$ 月 $14$ 日是“国际数学日”，旨在体现数学的重要性 $.$ 六盘水市某中学在今年“国际数学日”举行了初中学生数学素养比赛，需购买一批乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品 $.$ 询价时了解到：文具店乒乓球拍单价是羽毛球拍单价的 $1.5$ 倍，且花 $200$ 元购买羽毛球拍的数量比花 $240$ 元购买乒乓球拍的数量多 $2$ 副．

(1)、求询价时乒乓球拍和羽毛球拍的单价分别为多少元？

(2)、前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：羽毛球拍比之前询价时的单价上涨了 $2$ 元，乒乓球拍则按之前询价时单价的 $8$ 折出售 $.$ 若学校最终购买了乒乓球拍和羽毛球拍共 $60$ 副，且购买奖品的总费用不超过 $1361$ 元，则学校至少需购买多少副羽毛球拍？

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22. 已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (1,6)$ ， $B (- 3, - 2)$ ，与 $x$ 轴， $y$ 轴相交于点 $C$ ， $D$ ．

(1)、结合函数图象，直接写出 $k x + b > - 2$ 的解集为；

(2)、求一次函数 $y = k x + b$ 的表达式；

(3)、求 $△ A O B$ 的面积．

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23. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ ， $f$ 六个数，如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k (b + d + f \neq 0)$ ，那么 $\frac{a + c + e}{b + d + f} = k$ ．
理由如下：
$∵ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k (b + d + f \neq 0)$ ，
$∴ a = b k$ ， $c = d k$ ， $e = f k ($ 第一步 $)$ ，
$∴ \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{b k + d k + f k}{b + d + f} = \frac{k (b + d + f)}{b + d + f} = k ($ 第二步 $)$ ．

(1)、解题过程中第一步应用了的基本性质；在第二步解题过程中， $\frac{k (b + d + f)}{b + d + f} = k$ 应用了的基本性质；

(2)、应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
$①$ 如果 $\frac{2 a}{5} = \frac{b}{6} = \frac{c}{7} = 2$ ，则 $\frac{2 a + b + c}{18} =$ _▲_；
$②$ 已知 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} \neq 0$ ，求 $\frac{x - y + z}{x + 2 y - 3 z}$ 的值．

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24. 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．

(1)、【知识生成】
观察图 $1$ ，用两种不同的方法表示阴影部分的面积可得到一个等式： $a^{2} + b^{2} =$ ；若 $a + b = 14$ ， $a b = 48$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ；

(2)、【灵活运用】
已知 $(2024 - c) (c - 2023) = - 2024$ ，求 $(2024 - c)^{2} + (c - 2023)^{2}$ 的值；

(3)、【拓展迁移】
如图 $2$ ，某校园艺社团在靠墙的空地上，用长 $12$ 米的篱笆，再借助墙围成一个长方形花圃 $A B C D$ ，面积为 $18$ 平方米，其中墙足够长 $.$ 随着学校社团成员的增加，学校在花圃 $A B C D$ 旁分别以 $B C$ 为边长向外扩建四个正方形花圃，以 $C D$ 为边长向外扩建一个正方形花圃 $($ 扩建部分为如图 $2$ 所示的虚线区域 $)$ ，求花圃扩建后增加的面积．

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25. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上．

(1)、如图 $1$ ，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A E$ ，连接 $E B .$ 求证： $B E ⊥ B C$ ；

(2)、如图 $2$ ，在线段 $B D$ 上取一点 $F$ ，使得 $D F = D C$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ B C$ ，交 $A C$ 于点 $H$ ，连接 $H F$ ，过点 $B$ 作 $B G$ 垂直于 $H F$ 的延长线于点 $G$ ， $B G = A H$ ，连接 $A G$ ， $G D$ ．
$①$ 求证： $△ A H D$ ≌ $△ G F D$ ；
$②$ 若 $A D = 2 \sqrt{2}$ ，求 $A G$ 的长．

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