2016年全国统一高考数学模拟试卷（理科）（新课标II）

试卷更新日期：2016-09-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设集合M={x|log₂（x﹣1）＞0}，集合N={x|x≥﹣2}，则N∩∁_RM=（）

A、{x|x≤﹣2} B、{x|﹣2＜x≤2} C、{x|﹣2≤x≤3} D、{x|﹣2≤x≤2}

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2. 复数z= $\frac{2 i}{1 + i}$ 的共轭复数是（）

A、1+i B、1﹣i C、 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ i D、 $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{2}$ i

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3. 设x，y∈R，则（x﹣y）x⁴＜0是x＜y的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{2}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（b＞0）与抛物线y²=8x交于两点A，B，且|AB|=8，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、4 D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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5. 已知m＞0，n＞0，在（1+mx）³+（1+ $\sqrt{3}$ nx）²的展开式中，当x²项系数为3时，则m+n的最大值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{3}$

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6.
执行如图的程序框图，则输出S的值为（）

A、 $\frac{199}{200}$ B、 $\frac{197}{198}$ C、 $\frac{197}{199}$ D、 $\frac{198}{199}$

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7. 已知圆心在原点，半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中A（2，﹣2），B（2，1），C（ $\frac{1}{2}$ ，1），则R的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、8

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8. 已知f′（x）是函数f（x）的导函数，f（x）的图象如图所示，则不等式f′（x）f（x）＜0的解集为（）

A、（1，2）∪（ $\frac{5}{2}$ ，3）∪（﹣∞，﹣1） B、（﹣∞，﹣1）∪（ $\frac{5}{2}$ ，3） C、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） D、（1，2）

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9. 方程sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）+m=0在（0，π）内有相异两解α，β，则tan（α+β）=（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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10. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁=1．当n≥2时，a_n+2S_N_﹣₁=2n+1，则S₂₉₉=（）

A、246 B、299 C、247 D、248

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11.
网格纸的各小格都是边长为1的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{16 π}{3}$

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12. 已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞﹣2f（x），若g（x）=x²f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣x）的解集是（）

A、（ $\frac{1}{2}$ ，+∞） B、（﹣∞， $\frac{1}{2}$ ） C、（﹣∞，0）∪（0， $\frac{1}{2}$ ） D、（0， $\frac{1}{2}$ ）

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（﹣2，m）， $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则m= ．

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14. 已知钝角三角形ABC的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，AB=1，BC=2，则B= ．

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15. 已知a＞b＞1，且2log_ab+4log_ba=9，则函数f（x）=|b²x﹣a|的单调递增区间为．

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16. 设抛物线y²=8x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若点M满足 $\vec{O M}$ = $\frac{1}{2}$ （ $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ ），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=4，则M点的横坐标为．

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三、解答题

17. 已知在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且2cos² $\frac{C}{2}$ +（cosB﹣ $\sqrt{3}$ sinB）cosA=1．

(1)、求角A的值；

(2)、求f（x）=4cosxcos（x﹣A）在x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]的值域．

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18. 2012年中华人民共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标准，该标准增设和调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值，并从2016年1月1日起在全国实施．空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重，某市对市辖的某两个区加大了对空气质量的治理力度，从2015年11月1日起监测了100天的空气质量指数，并按照空气质量指数划分为：指标小于或等于115为通过，并引进项目投资．大于115为未通过，并进行治理．现统计如下．

空气质量指数	（0，35]	[35，75]	（75，115]	（115，150]	（150，250]	＞250
空气质量类别	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染
甲区天数	13	20	42	20	3	2
乙区天数	8	32	40	16	2	2

(1)、以频率值作为概率值，求甲区和乙区通过监测的概率；

(2)、对于甲区，若通过，引进项目可增加税收40（百万元），若没通过监测，则治理花费5（百万元）；对于乙，若通过，引进项目可增加税收50（百万元），若没通过监测，则治理花费10（百万元）．．在（1）的前提下，记X为通过监测，引进项目增加的税收总额，求随机变量X的分布列和数学期望．

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19. 已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，对角线AC与BD交于点O，M为OC中点．

(1)、求证：BD⊥PM

(2)、若二面角O﹣PM﹣D的正切值为2 $\sqrt{6}$ ，求 $\frac{P A}{A D}$ 的值．

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20. 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的一个顶点坐标为（2，0），离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若A（0，1），设M，N是椭圆上异于点A的任意两点，且AM⊥AN，线段MN的中垂线l与x轴的交点为（m，0），求m的取值范围．

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21. 已知函f（x）=x²﹣x+alnx．

(1)、当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)、若函数f（x）有两个极值点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，求证f（x₂）＜ $\frac{3}{4}$ ．

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22. 如图所示，已知AB为圆O的直径，C，D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．

(1)、求证：AC是∠DAB的平分线；

(2)、求证：OF∥AG．

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23. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 \cos ϕ \\ y = 2 \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数，0≤φ≤π），曲线C₂的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 5 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）．

(1)、求C₁的普通方程并指出它的轨迹；

(2)、以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM：θ= $\frac{π}{4}$ 与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

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24. 设函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|

(1)、求函数f（x）的最小值；

(2)、若{x|f（x）≤t²﹣3t}∩{x|﹣2≤x≤0}≠∅．求实数t的取值范围．

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