湖南省娄底市娄星区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-21 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $3 x^{2} + \frac{2}{x} - 1 = 0$ B、 $5 x^{2} - 6 y - 3 = 0$ C、 $a x^{2} - x + 2 = 0$ D、 $(a^{2} + 1) x^{2} + b x + c = 0$

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2. 已知在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $A B$ 上一点，过点 $D$ 作 $B C$ 的平行线交 $A C$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $A B$ 的平行线交 $B C$ 于点 $F$ ．则下列说法不正确的是（）

A、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ B、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A E}{A C}$ C、 $\frac{B F}{B C} = \frac{A D}{A B}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{B F}{F C}$

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3. 三角形的面积为12cm² ，这时底边上的高ycm底边xcm之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知线段AB的长度为2，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5} - 1$ 或 $3 - \sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 或 $\sqrt{5} - 2$

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5. 用配方法解一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ，配方正确的是（）．

A、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{17}{16}$ B、 ${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$ D、 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{11}{4}$

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6. 如图，函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象相交于点 $A (- 2, 3), B (1, - 6)$ 两点，则不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集为（）

A、 $x > - 2$ B、 $- 2 < x < 0$ 或 $x > 1$ C、 $x > 1$ D、 $x < - 2$ 或 $0 < x < 1$

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7. 如图， $D, E$ 是 $△ A B C$ 边 $A B, A C$ 边上的两点，且 $D E ∥ B C$ ，若 $S_{△ A D E} : S_{△ A B C} = 1 : 16$ ，则 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的周长之比为（）

A、 $1 : 2$ B、 $1 : 4$ C、 $1 : 5$ D、 $1 : 16$

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8. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与 $△ A B C$ 相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化．若已知绿化面积为540m² ，设道路的宽为xm，则题中涉及的等量关系式为（）

A、（32－x）（20－x）＝540 B、（x－32）（20－x）＝540 C、（x－32）（x－20）＝540 D、（32 $\times$ 24）－（32x＋20x ）＝540

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在函数 $y = - \frac{4}{x} (x < 0)$ 的图象上，点B在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，若AO=2BO，∠AOB=90°，则k的值为（）

A、1 B、2 C、1.5 D、0.25

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二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 如果 $\frac{a - b}{a} = \frac{1}{3}$ ，那么 $\frac{a + b}{a}$ 的值等于．

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12. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程x²－4x－7＝0的两个实数根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值是.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为边 $A C$ 上的点，连接 $B D$ ，添加一个条件：，可以使得 $△ A D B ∽ △ A B C$ ．（只需写出一个）

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14. 关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + 3 x + m^{2} - 1 = 0$ 的一根为0，则m的值是．

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15. 反比例函数 $y = \frac{3 - m}{x}$ 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是.

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16. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上，若BC=6cm，AD=4cm，则正方形EFGH的边长是cm．

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三、计算题（每小题6分，共18分）

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x + 9 = {(5 - 2 x)}^{2}$ ；

(2)、 $2 (x - 2) = x^{2} - 4$ ．

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18. 已知某品牌显示器的寿命大约为 $2 \times 10^{4} h$ ．
（1）这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间具有怎样的函数关系？
（2）如果平均每天工作 $10 h$ ，那么这种显示器大约可使用多长时间？

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四、解答题（每小题8分，共16分）

19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 上的点，且 $D E ∥ A C$ ， $A E ∥ D F$ ， $\frac{B D}{A D} = \frac{3}{2}$ ， $B F =$ $6 cm$ ，求 $E F$ 和 $F C$ 的长．

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20. 已知反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 与一次函数y＝kx+b（k≠0）交于点A（﹣1，6）、B（n，2）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点A关于y轴的对称点为A^' ，连接AA^' ， BA^' ，求△AA^'B的面积．

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五、解答题（每小题9分，共18分）

21. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点 $△ A B C$ （顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为 $(- 4, 3)$ ．

(1)、以点O为位似中心，在给定的网格中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 位似，并且点 $A_{1}$ 的坐标为 $(8, - 6)$ ．

(2)、 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的位似比是______．

(3)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积是______．

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22. “阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在双峰县城南郊区李大叔承包了一个葡萄园，种植了大量“阳光玫瑰葡萄”，县城某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，李大叔批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤．若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．

(1)、若降价2元，则每天的销售利润是多少元？

(2)、若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）

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六、综合题（每小题10分，共20分）

23. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m - 3) x - m = 0$ ．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、如果方程的两实根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 27$ ，求m的值．

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24. 如图 $1$ ，在等腰直角三角形 $A D C$ 中， $∠ A D C = 90^{\circ}, A D = 4$ ．点 $E$ 是 $A D$ 的中点，以 $D E$ 为边作正方形 $D E F G$ ，连接 $A G, C E$ ．将正方形 $D E F G$ 绕点 $D$ 顺时针旋转，旋转角为 $α (0^{\circ} < α < 90^{\circ})$ ．
（1）如图 $2$ ，在旋转过程中，
①判断 $Δ A G D$ 与 $Δ C E D$ 是否全等，并说明理由；
②当 $C E = C D$ 时， $A G$ 与 $E F$ 交于点 $H$ ，求 $G H$ 的长．
（2）如图 $3$ ，延长 $C E$ 交直线 $A G$ 于点 $P$ ．
①求证： $A G ⊥ C P$ ；
②在旋转过程中，线段 $P C$ 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

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