湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二创新实验班下学期7月期末质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-07-16 类型：期末考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = \{x |1 < x^{2} < 9\}$ ， $B = \{x |\frac{1}{4} < 2^{x} < 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 3, 2)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(- 3, - 2) \cup (2, 3)$ D、 $(- 2, - 1) \cup (1, 2)$

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2. 若复数 $z = 1 + i$ ，则 $|\frac{i}{z + 1} + 1| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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3. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个单位向量，若向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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4. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $\cos (α - \frac{π}{4}) = 2 \cos 2 α$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{15}$

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5. 将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）

A、78 B、92 C、100 D、122

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6. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $\frac{π}{3}$ ，且集合 $M = \{x| x = sin a_{n}, n \in N^{*}\}$ 中有且只有 $4$ 个元素，则 $M$ 中的所有元素之积为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 如图，已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 是双曲线 $C$ 的渐近线上的一点，点 $M$ 是双曲线 $C$ 左支上的一点.若四边形 $O F P M$ 是一个平行四边形，且 $O M ⊥ O P$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \ln x, x > 1 \\ 1 - x^{3}, x \leq 1 \end{array}$ ，若函数 $y = f (x) - a (x - 1)$ 恰有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{4}, 0)$ B、 $(- \infty, - \frac{3}{4})$ C、 $(- 3, - \frac{3}{4})$ D、 $(0, 1)$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列命题正确的是（）

A、数据 $4, 6, 7, 7, 8, 9, 11, 14, 15, 19$ 的 $75 %$ 分位数为11 B、已知变量 $x, y$ 的线性回归方程 $\hat{y} = 0.3 x - \bar{x}$ ，且 $\bar{y} = 2.8$ ，则 $\bar{x} = - 4$ C、已知随机变量 $X \sim B (7, 0.5),$ $P (X = k)$ 最大，则 $k$ 的取值为3 D、已知随机变量 $X \sim N (0, 1), P (X \geq 1) = p$ ，则 $P (- 1 < X < 0) = \frac{1}{2} - p$

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10. 六氟化硫，化学式为 ${SF}_{6}$ ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（）

A、该正八面体结构的表面积为 $2 \sqrt{3} m^{2}$ B、该正八面体结构的体积为 $\sqrt{2} m^{3}$ C、该正八面体结构的外接球表面积为 $2 π m^{2}$ D、该正八面体结构的内切球表面积为 $\frac{2 π m^{2}}{3}$

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11. “最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成．旋轮线C的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = R (θ - sin θ) \\ y = R (1 - cos θ) \end{matrix}$ ，其中 $θ$ 为参数， $R > 0$ 为常数，旋轮线C也可看作某一个函数 $y = f (x)$ 的图象．下列说法正确的有（）

A、点 $P (π R ， 2 R)$ 在旋轮线C上 B、函数 $f (x)$ 是偶函数 C、函数 $f (x)$ 不是周期函数 D、当 $R = 1$ 时，函数 $f （ x ）$ 在 $(1 - \frac{π}{2}, 0)$ 单调递减

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $c = a \cos B + 2 \cos A$ ， $2 b = c$ ，若 $\cos C = - \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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13. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左，右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}, P$ 是椭圆C上第一象限内的一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ .过点 $P$ 作 $C$ 的切线 $l$ ，分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴交于 $A, B$ 两点， $O$ 为原点，当点 $P$ 在 $C$ 上移动时， $△ A O B$ 面积的最小值为.

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14. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{a^{4} + b^{4} + c^{4} + a^{2} b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = 2 c^{2}$ ，若 $c$ 为最大边，则 $\frac{a + b}{c}$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a \cos x - x (a \geq 0)$ ．
（1）当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上的最值；
（2）当 $x \in (0, π]$ 时， $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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16. 已知四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 如图所示，底面 $A B C D$ 为平行四边形，其中点 $D$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的投影为点 $A_{1}$ ，且 $A B = A A_{1} =$ $2 A D, ∠ A B C = 120^{°}$ ．

(1)、求证：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、已知点 $E$ 在线段 $C_{1} D$ 上（不含端点位置），且平面 $A_{1} B E$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\frac{D E}{E C_{1}}$ 的值．

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17. 某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 中的一个.
（1）记事件 $E_{n}$ ：一次性购买 $n$ 个甲系列盲盒后集齐玩偶 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 玩偶；事件 $F_{n}$ ：一次性购买 $n$ 个乙系列盲盒后集齐 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 玩偶；求概率 $P (E_{5})$ 及 $P (F_{4})$ ；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 $\frac{2}{3}$ ，购买乙系列的概率为 $\frac{1}{3}$ ；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 $\frac{1}{4}$ ，购买乙系列的概率为 $\frac{3}{4}$ ，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 $\frac{1}{2}$ ，购买乙系列的概率为 $\frac{1}{2}$ ；如此往复，记某人第 $n$ 次购买甲系列的概率为 $Q_{n}$ .
①求 $\{Q_{n}\}$ 的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为 $100$ ，且这 $100$ 人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.

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18. 过抛物线外一点 $P$ 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称 $△ P A B$ 为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点 $P$ 是圆 $Q : x^{2} + {(y + 5)}^{2} = 4$ 上的动点， $△ P A B$ 是抛物线 $Γ : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的阿基米德三角形， $F$ 是抛物线 $Γ$ 的焦点，且 $| P F |_{\min} = 6$ ．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；

(3)、设 $D$ 是“圆边形”的抛物线弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线 $l$ 交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明： $|A M| \cdot |B N| = |P M| \cdot |P N|$ ．

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19. 若数列 $\{x_{n}\}$ 满足：存在等差数列 $\{c_{n}\}$ ，使得集合 $\{x_{n} + c_{n} ∣ n \in N^{*}\}$ 元素的个数为不大于 $k (k \in N^{*})$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 具有 $Q (k)$ 性质.

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 + \cos \frac{n π}{2} + \sin \frac{n π}{2} (n \in N^{*})$ .求证：数列 $\{a_{n} + \cos \frac{n π}{2}\}$ 是等差数列，且数列 $\{a_{n}\}$ 有 $Q (3)$ 性质；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 有 $Q (k_{1})$ 性质，数列 $\{b_{n}\}$ 有 $Q (k_{2})$ 性质，证明：数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 有 $Q (k_{1} k_{2})$ 性质；

(3)、记 $T_{n}$ 为数列 $\{f_{n}\}$ 的前n项和，若数列 $\{T_{n}\}$ 具有 $Q (k)$ 性质，是否存在 $m \in N^{*}$ ，使得数列 $\{f_{n}\}$ 具有 $Q (m)$ 性质？说明理由.

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