湖南省永州市祁阳市2023-2024学年九年级上学期期中质数学试题

试卷更新日期：2023-11-15 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上）

1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（）.

A、 $y = \frac{2}{x^{2}}$ B、 $y = - \frac{3}{x}$ C、 $y = 2 x$ D、 $\frac{y}{x} = 4$

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2. 一元二次方程 $x^{2} - x + 3 = 0$ 的根的情况为（　　）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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3. 如果 $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$ ，那么下列各式中不成立的是（）

A、 $2 x = 3 y$ B、 $3 x = 2 y$ C、 $\frac{y}{x} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$

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4. 关于反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ ，下列说法中正确的是（）

A、它的图象分在在第二、四象限 B、它的图象过点 $(- 1, 3)$ C、当 $x < 0$ 时，y的值随x的增大而减小 D、与y轴的交点是 $(0, 3)$

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5. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 时，配方结果正确的是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 7$

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6. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ，则添加下列一个条件后，仍无法判定 $△ A B C ∽ △ A D E$ 的是（）

A、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$ B、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$ C、 $∠ B = ∠ A D E$ D、 $∠ C = ∠ E$

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7. 若菱形两条对角线的长度是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的两根，则该菱形的边长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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8. 如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）

A、 $(30 + 2 x) (15 + x) = 392$ B、 $(30 - 2 x) (15 - x) = 392$ C、 $(30 + x) (15 + 2 x) = 392$ D、 $(30 - x) (15 - 2 x) = 392$

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9. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 $E F G$ 测量树的高度 $A B$ ，他调整自己的位置，设法使斜边 $E G$ 保持水平，并且边 $E F$ 所在的直线经过点A．已知纸板的两条直角边 $E F = 60 c m$ ， $F G = 30 c m$ ，测得小刚与树的水平距离 $B D = 8 m$ ，边 $E G$ 离地面的高度 $D E = 1.6 m$ ，则树的高度 $A B$ 等于( )

A、 $5 m$ B、 $5.5 m$ C、 $5.6 m$ D、 $5.8 m$

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10. 在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B = 3 C D$ ， $E$ 是对角线 $A C$ 的中点，直线 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，则 $A F : F D =$ （）

A、2 B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 将一元二次方程 $(2 x + 3) (2 x - 3) + 9 = 3 x$ 化为一般形式为．

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12. 如图，已知点A是反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 图象上的任意一点，经过点A作 $A B ⊥ y$ 轴于点B，则 $△ A O B$ 的面积为．

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13. 已知点P是线段AB上的黄金分割点，且AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝cm．

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14. 若关于x的方程(m-2)x^|m|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝.

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15. 如图， $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，两条直线与这三条平行线分别交于点 $A, B, C$ 和 $D, E, F$ ，已知 $\frac{A B}{B C} = \frac{3}{2}$ ，则 $D F = 10$ ，则 $D E =$ ．

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16. 如图，曲线 $l$ 是由函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转 $45 °$ 得到的，过点从 $A (- 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}), B (\frac{3}{2} \sqrt{2}, \frac{3}{2} \sqrt{2})$ 的直线与曲线 $l$ 相交于点M、N．若 $△ O M N$ 的面积为3，则 $k =$ ．

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三、解答题（本大题共9个小题，其中17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分，22、23题每小题9分，24、25题每小题10分）

17. 解方程：

(1)、 ${(x - 2)}^{2} = 16$ ；

(2)、 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ．

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18. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A (- 2, - 8)$ ．

(1)、求这个函数的表达式；

(2)、点 $B (8, 2)$ ， $C (4, - 6)$ 是否在这个函数的图象上？

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19. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 边上一点， $∠ A E D = ∠ B$ ．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ D E A$ ；

(2)、若 $A E = 4$ ， $D E = 6$ ，求菱形 $A B C D$ 的边长．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 3 = 0$ 的一根为 $- 1$ ．

(1)、求m的值及方程的另一根；

(2)、求证：不论m为何实数，原方程总有两个不相等的实数根．

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21. 祁阳市唐家山油茶文化园景区在2021年十一黄金周期间，接待游客2万人次，2023年十一黄金周期间，接待游客达 $2.88$ 万人次．

(1)、请求出2021年至2023年十一黄金周期间游客人次的年平均增长率；

(2)、按此年平均增长率，请你预测该景区2024年十一黄金周期间接待游客的人次．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C$ ，点 $P$ 从 $B$ 运动到 $C$ ，且 $∠ A P D = ∠ C$ ．

(1)、求证： $A B \cdot C D = C P \cdot B P$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ， $B C = 10$ ，求当 $B P$ 长为多少时， $P D ∥ A B$ ．

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23. 如图，一次函数 $y_{1} = a x + b (a \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象相交于A、B两点，且点A坐标为 $(2, 1)$ ，点B坐标为 $(- 1, n)$ ．

(1)、求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积

(3)、当 $y_{1} < y_{2}$ 时，请直接写出x的取值范围．

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24. 阅读材料：
材料1：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料2：已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．
解：由题知 $m$ ， $n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，根据材料1得 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，所以 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} = \frac{{(m + n)}^{2} - 2 m n}{m n} = \frac{1 + 2}{- 1} = - 3$
根据上述材料解决以下问题：

(1)、材料理解：一元二次方程 $5 x^{2} + 10 x - 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ___________， $x_{1} x_{2} =$ ____________．

(2)、类比探究：已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $7 m^{2} - 7 m - 1 = 0$ ， $7 n^{2} - 7 n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．

(3)、思维拓展：已知实数 $s$ 、 $t$ 分别满足 $7 s^{2} + 7 s + 1 = 0$ ， $t^{2} + 7 t + 7 = 0$ ，且 $s t \neq 1$ ．求 $\frac{2 s t + 7 s + 2}{t}$ 的值．

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25. 如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（0，6）点C的坐标为（4，0），点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，当点P与点B重合时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．

(1)、当t=1时，请直接写出△BPQ的面积为；

(2)、当△BPQ与△COQ相似时，求t的值；

(3)、当反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x> 0）的图象经过点P、Q两点时．
①求k的值；
②点M在x轴上，点N在反比例函数y= $\frac{k}{x} （ x > 0 ）$ 的图象上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的M的坐标．

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

三、解答题（本大题共9个小题，其中17、18、19题每小题6分，20、21题每小题8分，22、23题每小题9分，24、25题每小题10分）

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