湖北省孝感市汉川市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-26 类型：期中考试

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一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）

1. 下列几何图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $x + 6 = 9$ B、 $x + y = 1$ C、 $x + \frac{1}{x} = 3$ D、 $- 2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 40 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转至 $A D E$ 处，使点B落在 $B C$ 的延长线上的D点处，则 $∠ B D E =$ （）

A、 $100 °$ B、 $90 °$ C、 $80 °$ D、 $70 °$

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4. 抛物线 $y = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、(2， 1) B、(-2， 1) C、(2， -1) D、(-2， -1)

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5. 一元二次方程x²﹣6x﹣5=0配方可变形为（）

A、（x﹣3）²=14 B、（x﹣3）²=4 C、（x+3）²=14 D、（x+3）²=4

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6. 将抛物线 $y = - x^{2}$ 向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（）

A、 $y = - {(x + 2)}^{2}$ B、 $y = - 2 {(x - 2)}^{2} + 2$ C、 $y = - 2 {(x + 2)}^{2} + 2$ D、 $y = - 2 {(x - 2)}^{2}$

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7. “读万卷书，行万里路．”红星学校为了丰富学生的阅读知识，坚持开展课外阅读活动．学生人均阅读量从2021年每年100万字，到2023年增加到每年121万字，设该校人均阅读量年均增长率为x，则可列方程正确的是（）

A、 $100 {(1 + x)}^{2} = 121$ B、 $100 + 100 (1 + x) = 121$ C、 $100 (1 + 2 x) = 121$ D、 $100 + 100 (1 + x) + 100 {(1 + x)}^{2} = 121$

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8. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴的交点在 $(0, 2)$ ， $(0, 3)$ 之间（包含端点），顶点坐标为 $(1, n)$ ，有下列结论：① $2 a + b = 0$ ；② $- 1 \leq a \leq - \frac{2}{3}$ ；③对于任意实数 $m$ ， $a (m^{2} - 1) + b (m - 1) \leq 0$ 总成立；④关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = n - 1$ 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请将结果直接填写在答题卡相应位置上）

9. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + c = 0$ 有实数根，则常数c的值是．（写一个即可）

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10. 若点B与点 $A (2, - 3)$ 关于原点对称，则点B的坐标为．

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11. 若m，n是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的两实根，则 $m - m n + n$ 的值为．

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12. 已知抛物线 $y = - 2 (x - 1)^{2} + m$ 经过点 $A (- 1 ， y_{1}) ， B (2 ， y_{2})$ 两点，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的大小关系是 .

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13. 如图，将 $△ A B C$ 绕着点A逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，使得点 $B$ 的对应点 $D$ 落在边 $A C$ 的延长线上，若 $A B = 8$ ， $A E = 5$ ，则线段 $C D$ 的长为．

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14. 在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为 $570 m^{2}$ ，求道路宽为多少？设宽为 $x m$ ，根据题意，可列方程．

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15. 在平面直角坐标系中，将 $▱ A B C D$ 放置在第一象限，且 $A D ∥ x$ 轴，如图1，直线 $y = - x$ 从原点出发沿 $x$ 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度 $l$ 与直线在 $x$ 轴上平移的距离 $m$ 的函数图象如图2所示，那么 $▱ A B C D$ 面积为．

图1 图2

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16. 已知点 $A$ 是抛物线 $y = - x^{2} + 4 x$ 对称轴上一点，连接 $O A$ ，以点 $A$ 为旋转中心将 $A O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $A O^{'}$ ，若点 $O^{'}$ 恰好落在抛物线上时，则 $△ O A O^{'}$ 的面积为．

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三、用心做一做（本大题共8小题，满分72分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）

17. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 10 x + 16 = 0$

(2)、 $x^{2} - x - 1 = 0$

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18. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 4 x + 5$ ．

(1)、用配方法将 $y = - x^{2} + 4 x + 5$ 化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

(2)、写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出y随x的增大而减小时x的取值范围．

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19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，已知点A，B，C的坐标分别是 $(- 5, - 4)$ ， $(- 1, - 4)$ ， $(- 2, - 1)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 向上平移6个单位得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；以 $(0, - 1)$ 为对称中心，画出 $△ A B C$ 关于该点对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(2)、经探究发现， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 成中心对称，则对称中心的坐标是________．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 k - 1) x + k^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根
（1）求 $k$ 的取值范围；
（2）若此方程的两实数根 $x_{1} . x_{2}$ 满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 5$ ，求 $k$ 的值

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21. 小知识：古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（ $A B$ ）的某一部分（ $A C$ ）与另一部分（ $B C$ ）之比，如果正好等于另一部分（ $B C$ ）同整个线段（ $A B$ ）的比（即 $B C^{2} = A C \cdot A B$ ），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（ $A B$ ）的点 $C$ 称为线段 $A B$ 的“黄金分割点”，在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长20米的舞台 $A B$ 上，主持人从 $A$ 点到 $B$ 点走多少米，他的站台最得体？（取 $\sqrt{2} = 1.4, \sqrt{5} = 1.7, \sqrt{3} = 2.2$ ）

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22. 加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在政府的支持下，建成了一处劳动实践基地． $2023$ 年计划将其中 $1000 m^{2}$ 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本 $y$ （单位：元/ $m^{2}$ ）与其种植面积 $x$ （单位： $m^{2}$ ）的函数关系如图所示，其中 $200 \leq x \leq 700$ ；乙种蔬菜的种植成本为 $50$ 元/ $m^{2}$ ．

(1)、当 $200 \leq x \leq 600$ 时， $y$ 与 $x$ 的函数关系式为________；

(2)、设 $2023$ 年甲乙两种蔬菜总种植成本为 $w$ 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使 $w$ 最小？

(3)、该校计划今后每年在这 $1000 m^{2}$ 土地上，均按（ $2$ ）中方案种植蔬菜，因技术改进预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降 $10 %$ ，乙种蔬菜种植成本平均每年下降 $a %$ ，当 $a$ 为何值时， $2025$ 年总种植成本为 $28920$ 元？

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23. 【原题初探】
（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图 $1$ ，点 $P$ 是等边 $△ A B C$ 内的一点，将 $△ A B P$ 绕着点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ C B D$ ，若 $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ ，则 $∠ A P B$ 的度数为________；
【变式应用】
（2）如图 $2$ ， $P$ 是正方形 $A B C D$ 内一点，连结 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ．若 $P A = 2$ ， $P B = 3 \sqrt{2}$ ， $∠ A P B = 135 °$ ，求 $P C$ 的长；
【拓展延伸】
（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图 $3$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $C D = 2$ ， $∠ A D C =45 °$ ，若 $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，求 $B D$ 的长．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，顶点为 $D$ ．

(1)、直接写出点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的坐标；

(2)、如图1，连接 $B C$ ，点 $E$ 为线段 $B C$ 上的一个动点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ x$ 轴交抛物线于点 $F$ ，连接 $C F$ ， $B F$ ，求 $△ B C F$ 面积的最大值和此时点 $F$ 的坐标；

(3)、如图2， $G$ 是抛物线上第四象限内一点，过点 $G$ 作 $G H ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，交直线 $B D$ 于点 $K$ ，且 $5 O H = 14 G K$ ，作直线 $A G$ ．
①求点 $G$ 的坐标；
② $P$ 为直线 $A G$ 上方抛物线上一点，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A G$ 于点 $Q$ ，取点 $M (0, \frac{7}{4})$ ．若点 $N$ 为平面内一点，如图 $3$ ，若四边形 $M P N Q$ 是菱形时，则点 $P$ 的坐标为________．

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