江西省抚州市2023-2024学年高二下学期学生学业质量监测数学试卷

试卷更新日期：2024-07-10 类型：期末考试

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一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求.

1. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x}$ ，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f (2 + x) - f (2)}{x}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{4}{2 - a_{n}}$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、-2 B、4 C、1 D、 $- \frac{4}{3}$

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3. 2024年是安徽省实施“ $3 + 1 + 2$ ”选科方案后的第一年新高考，该方案中的“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么化学和地理至少有一门被选中的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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4. 设 $0 < a < 1$ ， $n \in R$ ，随机变量X的分布列是（）

$X$

$n$

$n + 1$

$P$

$1 - a$

a

则方差 $D (X)$ （）

A、既与 $n$ 有关，也与 $a$ 有关 B、与 $a$ 有关，但与 $n$ 无关 C、与 $n$ 有关，但与 $a$ 无关 D、既与 $n$ 无关，也与 $a$ 无关

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5. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n + 3}{n + 1}$ ，则 $\frac{a_{1} + a_{9}}{b_{1} + b_{19}}$ 的值为（）

A、 $\frac{13}{11}$ B、 $\frac{21}{10}$ C、 $\frac{13}{22}$ D、 $\frac{21}{20}$

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6. 已知函数 $f (x) = \ln x - {(x - a)}^{2} (a \in R)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上存在单调递增区间，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ .其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列 $\{a_{n}\}$ 称为“斐波那契数列”.记 $S_{n}$ 为“斐波那契数列” $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{2023} = a$ ， $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{2024}^{2} = b$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\frac{b}{a + 1}$ B、 $\frac{b - 1}{a + 1}$ C、 $\frac{b}{2 a + 1}$ D、 $\frac{b + 1}{2 a + 1}$

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8. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - ln x + ln a$ ，若 $f (x) \geq 1$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.

9. 函数 $y = f (x)$ ， $x \in [- 2, 5]$ 的导函数图象如图所示，下列结论中一定正确的是（）

A、 $f (x)$ 的减区间是 $[1, 3]$ B、 $f (x)$ 的增区间是 $[- 1, 2],[4, 5]$ C、 $f (x)$ 有一个极大值点，两个极小值点 D、 $f (x)$ 有三个零点

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10. 下列说法正确的是（）

A、互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B、若 $X \sim N (1, σ^{2}), P (X \geq 2) = 0.2$ ，则 $P (0 < X < 1) = 0.3$ C、已知 $0 < P (M) < 1, 0 < P (N) < 1$ ，若 $P (M| N) + P (\bar{M}) = 1$ ，则事件M，N相互独立 D、根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.712$ ，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验 $(χ_{0.05} = 3.841)$ ，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 存在三个不同的零点 B、函数 $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值 C、若 $x \in [t, + \infty)$ 时， $f {(x)}_{\max} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最小值为 $2$ D、若方程 $f (x) = k$ 有两个实根，则 $k \in (- e, 0] \cup \{\frac{5}{e^{2}}\}$

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三、填空题：共3小题，每题5分，共15分.

12. 若直线 $y = 3 x - b$ 与曲线 $y = ln (2 x) + x - 1$ 相切，则 $b =$ .

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13. 小王喜爱逛街和吃火锅．在周末，她下午去逛街的概率为 $\frac{3}{5}$ ．若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为 $\frac{1}{6}$ ．已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为．

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14. 已知 $A, B$ 分别是函数 $f (x) = 2 x + e^{m x} - l n (e^{m x} + x - 1)$ 和 $g (x) = x$ 图象上的动点，若对任意的 $m > 0$ ，都有 $| A B | \geq a$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.

15. 已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 首项 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{5}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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16. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} - x + 1$

(1)、求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、方程 $f (x) = m$ 在 $x \in [- 1, 2]$ 有解，求实数 $m$ 的范围.

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17. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且 $(n + 1) a_{n - 1} - n a_{n} = 0 (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、若数列 $\{\frac{1}{a_{n}^{2}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 1$ .

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18. 某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且 $X ~ N (45, 225)$ ．

(1)、请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；

(2)、奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有 $n (0 \leq n \leq 20)$ 个人摸到一等奖的概率为 $P (n)$ ，求当 $P (n)$ 取得最大值时 $n$ 的值．
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P {| X - μ | < σ} = 0.6827, P {| X - μ | < 2 σ} = 0.9545$ ．

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19. 已知函数 $f (x)= e^{x} − a x −1$ （ $a$ 为常数， $e$ 为自然对数的底数），曲线 $y = f (x)$ 在与 $y$ 轴的交点 $A$ 处的切线斜率为-1.

(1)、求 $a$ 的值及函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明：当 $x >0$ 时， $e^{x} > x^{2} +1$ ；

(3)、证明：当 $n ∈ N^{*}$ 时， $1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n} >ln \frac{{(n +1)}^{3}}{{(3e)}^{n}}$ .

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$X$	$n$	$n + 1$
$P$	$1 - a$	a