2016年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-30 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设全集为R，集合M={x|x²＞1}，N={x∈Z||x|≤2}，则（∁_RM）∩N=（）

A、{0} B、{2} C、{﹣1，0，1} D、{﹣2，0，2}

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2. 已知复数z= $\frac{1}{i - 1}$ ，则（）

A、z的实部为 $\frac{1}{2}$ B、z的虚部为﹣ $\frac{1}{2}$ i C、|z|= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、z的共轭复数为 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ i

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3. 设S_n是公差d≠0的等差数列{a_n}的前n项和，且S₁ ， S₂ ， S₄成等比数列，则 $\frac{s_{3}}{a_{3}}$ =（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、3 C、 $\frac{9}{4}$ D、2

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4. 已知命题p； $\frac{1}{2}$ ≤x≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）

A、[0， $\frac{1}{2}$ ] B、[ $\frac{1}{2}$ ，1] C、[ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ] D、（ $\frac{1}{3}$ ，1]

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5. 在区间（0，3）上任取一个实数a，则不等式log₂（4a﹣1）＜0成立的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{12}$

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6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）

A、4 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、6 D、4 $\sqrt{3}$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则△AOB的面积为（）

A、2 B、2 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 某程序框图如图所示，若输出i的值为63，则判断框内可填入的条件是（）

A、S＞27 B、S≤27 C、S≥26 D、S＜26

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9. 若函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且f′（x）=sin2x﹣ $\sqrt{3}$ cos2x，则下列说法正确的是（）

A、y=f（x）的周期为 $\frac{π}{2}$ B、y=f（x）在[0， $\frac{π}{6}$ ]上是减函数 C、y=f（x）的图象关于直线x= $\frac{π}{2}$ 对称 D、y=f（x）是偶函数

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10. 点S、A、B、C在半径为 $\sqrt{2}$ 的同一球面上，点S到平面ABC的距离为 $\frac{1}{2}$ ， AB=BC=CA= $\sqrt{3}$ ，则点S与△ABC中心的距离为（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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11. 动点P为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）上异于椭圆顶点A（a，0）、B（﹣a，0）的一点，F₁ ， F₂为椭圆的两个焦点，动圆M与线段F₁P、F₁F2的延长线级线段PF₂相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的（）

A、抛物线 B、椭圆 C、双曲线的右支 D、一条直线

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12. 若关于x的不等式a﹣ax＞e^x（2x﹣1）（a＞﹣1）有且仅有两个整数解，则实数a的取值范围为（）

A、（﹣ $\frac{3}{4}$ ， $\frac{5}{3 e^{2}}$ ] B、（﹣1， $\frac{3}{2 e}$ ] C、（﹣ $\frac{3}{2 e}$ ，﹣ $\frac{5}{3 e^{2}}$ ] D、（﹣ $\frac{3}{4}$ ，﹣ $\frac{5}{3 e^{2}}$ ）

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二、填空题

13. 若（1+x）（1﹣ax）⁴的展开式中x²的系数为10，则实数a= ．

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14. 已知实数x、y满足 ${\begin{matrix} 2 x - y + a \geq 0 \\ x \leq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，其中a= $\int_{0}^{3}$ （x²﹣1）dx，则目标函数z=2x﹣3y的最小值为．

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15. 在△ABC中，G为重心，BE为AC的中线， $\vec{A G}$ ∥ $\vec{C D}$ ， $\vec{A D}$ = $\frac{1}{4}$ $\vec{A B}$ +λ $\vec{A C}$ （λ∈R），则λ的值为．

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16. 设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=﹣2，a_n+1=﹣ $\frac{s_{n}^{2}}{1 + s_{n}}$ ，n∈N^* ，则S_n= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且c＜a，已知 $\vec{C B} \cdot \vec{B A}$ =﹣2，tanB=2 $\sqrt{2}$ ，b=3．

(1)、求a和c的值；

(2)、求sin（B﹣C）的值．

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18. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，平面SAB⊥底面ABCD，且SA=SB= $\sqrt{2}$ ，AD=1，AB=2，BC=3．

(1)、求证：SB⊥平面SAD；

(2)、求二面角D﹣SC﹣B的余弦值．

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19. 某地区业余足球运动员共有15000人，其中男运动员9000人，女运动员6000人，为调查该地区业余足球运动员每周平均踢足球占用时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位业务足球运动员每周平均踢足球占用时间的样本数据（单位：小时）
得到业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．
将“业务运动员的每周平均踢足球时间所占用时间超过4小时”
定义为“热爱足球”．
附：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
P（K²≥k₀）
0.10
0.05
0.010
0.005
k₀
2.706
3.841
6.635
7.879

(1)、应收集多少位女运动员样本数据？

(2)、估计该地区每周平均踢足球所占用时间超过4个小时的概率．

(3)、在样本数据中，有80位女运动员“热爱足球”．请画出“热爱足球与性别”列联表，并判断是否有99%的把握认为“热爱足球与性别有关”．

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20. 已知F₁ ， F₂分别是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点F₁ ， F₂关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．

(1)、求圆C的方程；

(2)、设过点F₂的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程．

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21. 设函数f（x）=2x²+bx﹣alnx．

(1)、当a=5，b=﹣1时，求f（x）的单调区间；

(2)、若对任意b∈[﹣3，﹣2]，都存在x∈（1，e²）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

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22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P，∠PAB=35°．

(1)、若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；

(2)、若∠PAB=35°，求证： $\frac{D A^{2}}{A P^{2}} = \frac{D C}{P C}$ ．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \cos \frac{8 π}{3} \\ y = - 4 + t \sin \frac{8 π}{3} \end{matrix}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ²﹣3ρ﹣4=0（ρ≥0）．

(1)、写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；

(2)、设直线l与曲线C相交于A，B两点，求∠AOB的值．

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24. 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．

(1)、求a+b+c的值；

(2)、求证：a²+b²+c² $\geq \frac{1}{3}$ ．

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P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.010	0.005
k₀	2.706	3.841	6.635	7.879