湖北省鄂州市梁子湖区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-26 类型：期中考试

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一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列方程中是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + 2 x - y = 0$ B、 $x^{2} - x + 1 = 0$ C、 $x + y + 2 = 0$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x} + 2 = 0$

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2. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 下列关于二次函数 $y = 2 x^{2}$ 的叙述中，说法错误的是（）

A、y的最小值为0 B、当 $x < 0$ 时，y随x的增大而增大 C、图象的对称轴是y轴 D、图象的顶点是原点

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4. 抛物线 $y = - 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ 的顶点坐标为（）

A、 $(1, - 3)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(- 1, - 3)$ D、 $(1, 3)$

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5. 平面直角坐标系中，点 $(- 3 ， 2)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(3 ， - 2)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(- 3 ， - 2)$ D、 $(3 ， 2)$

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6. 为了推进基础教育高质量发展，某区加大教育经费投入改善办学条件，2022年投入2 000万元，预计2023年，2024年两年共投入8000万元．设投入经费的年平均增长率为 $x$ ，根据题意所列方程是（）

A、 $2000 {(1 + x)}^{2} = 8000$ B、 $2000 (1 + x) + 2000 {(1 + x)}^{2} = 8000$ C、 $2000 (1 + x^{2}) = 8000$ D、 $2000 + 2000 (1 + x) + 2000 {(1 + x)}^{2} = 8000$

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7. 在解方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 时，小马看错了一次项系数 $b$ ，得到的解为 $x_{1} = 2 ， x_{2} = - 3$ ；小虎看错了常数项 $c$ ，得到的解为 $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 4$ ，则正确的方程是（）

A、 $x^{2} - 3 x - 6 = 0$ B、 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ C、 $x^{2} + x - 6 = 0$ D、 $x^{2} + 3 x - 6 = 0$

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8. 如图，在方格纸上 $△ D E F$ 是由 $△ A B C$ 绕定点P顺时针旋转得到的，如果用 $(2, 1)$ 表示方格纸上点A的位置， $(1, 2)$ 表示点B的位置，那么点P的位置表示为（）

A、 $(5, 2)$ B、 $(4, 1)$ C、 $(5, 1)$ D、 $(4, 2)$

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9. 如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为 $y = - \frac{1}{36} x^{2}$ ，正常水位时水面宽 $A B$ 为 $36 m$ ，当水位上升 $5 m$ 时水面宽 $C D$ 为（）

A、 $10 m$ B、 $12 m$ C、 $24 m$ D、 $48 m$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ， $A C + B C = 3$ ，将 $A B$ 绕点A逆时针旋转 $120 °$ 得到 $A D$ ，则线段 $C D$ 的最小值是（）

A、 $\frac{27}{4}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{27 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 抛物线 $y = - 2 x^{2} + 3$ 与 $y$ 轴的交点坐标为.

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12. 若关于x的一元二次方程 $(k - 2) x^{2} + x + k^{2} - 4 = 0$ 有一个根是0，则k的值是．

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13. 已知m是方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $2 m^{2} - 6 m - 2022$ 的值为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 56 °$ ， $∠ A B C = 28 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $70 °$ 得到 $△ A D E$ ，则 $∠ D E C$ 的度数为．

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15. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图象与x轴的一个交点坐标为 $(- 1, 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，下列结论：① $a b c < 0$ ；② $c = - 9 a - 3 b$ ；③若点 $(- 2, y_{1})$ ， $(2, y_{2})$ ， $(3, y_{3})$ 均在该二次函数图象上，则 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ ；④若m为任意实数，则 $a m^{2} + b m + c \geq - 4 a$ ；⑤关于x的方程 $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 的两实数根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{1} < - 1 < 3 < x_{2}$ ．其中正确的结论是（只填序号）．

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16. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“倍值点”，如： $A (1 ， 2)$ ， $B (- 2 ， - 4)$ ， $C (0 ， 0)$ 都是“倍值点”，若关于x的二次函数 $y = (m - 1) x^{2} + (m + 2) x + n (m$ ， n为常数， $m \neq 1)$ 总有两个不同的倍值点，则n的取值范围是．

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三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - \sqrt{3} x = 0$ ；

(2)、 $3 x^{2} - x - 1 = 0$ ．

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18. 如图，在正方形网格中， $△ A B C$ 的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．

(1)、在图1中，作 $△ A B C$ 关于点 $O$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在图2中，作 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的 $△ A B_{2} C_{2}$ ；

(3)、在图3中，找出格点 $D$ 并画出直线 $A D$ ，使直线 $A D$ 将 $△ A B C$ 分成面积相等的两部分．

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19. 已知平行四边形 $A B C D$ 的两边 $A B ， A D$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 m x + 8 m - 4 = 0$ 的两个实数根．

(1)、若平行四边形 $A B C D$ 是菱形，求 $m$ 的值；

(2)、若 $(A B - 3) (A D - 3) = m^{2} - 7$ ，求 $m$ 的值．

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20. 二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 8$ 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当 $0 \leq x \leq 5$ 时，求函数y的最大值与最小值的和；

(3)、直接写出不等式 $- x^{2} + 2 x + 8 \leq 0$ 的解集是______．

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21. 某无人飞机在一条直跑道着陆后相对于着陆点的滑行距离y（单位： $m$ ）、滑行速度v（单位： $m / s$ ）随滑行时间t（单位； $s$ ）变化的数据如下表：
滑行时间t（s）
0
1
2
3
4
……
滑行速度v（m/s）
70
65
60
55
50
……
滑行距离y（m）
0
81
156
225
288
……
已知滑行速度v与滑行时间t之间满足一次函数关系，滑行距离y与滑行时间t之间满足二次函数关系．

(1)、直接写出v与t之间的函数解析式和y与t之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

(2)、当该无人飞机从着陆点滑行至滑行速度为 $10 m / s$ 时，滑行距离是多少米？

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22. 白龙蓝莓基地计划将如图所示的一块长 $80$ 米，宽 $40$ 米的矩形空地划分成五块小矩形区域，其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为存储区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种不同品种的蓝莓．存储区的一边与育苗区等宽，另一边长是 $20$ 米，A，B，C三种蓝莓每平方米的产值分别为 $100$ 元、 $200$ 元、 $300$ 元．
品种C
品种A
育苗区
品种B
存储区

(1)、设育苗区的边长为 $x$ 米，用含x的代数式分别表示下列各量：A品种的种植面积是______米² ， B品种的种植面积是______米² ， C品种的种植面积是______米²；

(2)、育苗区的边长为多少时，A，C两种蓝莓的总产值相等；

(3)、若A，B两种蓝莓的种植面积之和不超过 $2240$ 米² ，求A，B，C三种蓝莓的总产值之和的最大值是多少百元．

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23. 问题提出（1）如图1，正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别是边 $C D$ ， $B C$ 上的点， $∠ B A D = 2 ∠ E A F$ ，请直接写出 $D E$ ， $B F$ ， $E F$ 之间的数量关系：_____．
问题探究（2）如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A D$ 与 $∠ B C D$ 互补，点E，F分别是边 $C D$ ， $B C$ 上的点， $∠ B A D = 2 ∠ E A F$ ，请探究（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由．
问题拓展（3）在（1）中，如果点E，F分别是直线 $C D$ ，直线 $B C$ 上的点，其余条件不变，且 $D E = 1$ ， $A B = 3$ ，则 $E F$ 的长为______．

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24. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，在抛物线上有一动点 $P$ ，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ， $B C$ ．

(1)、求该抛物线的函数解析式；

(2)、若点 $P$ 在第一象限的抛物线上，当 $△ B C P$ 的面积是 $3$ 时，求 $△ A B P$ 的面积；

(3)、如图2，连接 $A C$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，过 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在线段 $B C$ 上，且 $D$ ， $F$ 两点关于 $y$ 轴上的某点成中心对称，连接 $D F$ ， $E F$ ．试探究线段 $E F$ 的长度是否有最小值？如果有请求出这个最小值；若没有请说明理由．

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滑行时间t（s）	0	1	2	3	4	……
滑行速度v（m/s）	70	65	60	55	50	……
滑行距离y（m）	0	81	156	225	288	……

品种C	品种A
育苗区	品种B	存储区