河北省保定市曲阳县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-13 类型：期中考试

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一、选择题（每题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 是一元二次方程，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \neq 0$ B、 $k \neq 1$ C、 $k \neq 0$ 且 $k \neq 1$ D、 $k = 0$

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2. 为了让学生了解国内外时事，培养读书看报、关心国家时事的好习惯，增强社会责任感，河南某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照 $5$ ： $2$ ： $3$ 的比例确定最终成绩，学生甲各项成绩 $($ 百分制 $)$ 如下表，则学生甲最终的综合成绩为（）
笔试
面试
实际操作
          $94$
          $80$
          $90$

A、 $88$ 分 B、 $89$ 分 C、 $90$ 分 D、 $94$ 分

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3. 若 $\frac{x}{y} = \frac{2}{5}$ ，则 $\frac{x}{x + y}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{7}{3}$

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4. 疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：
金额/元
5
10
20
50
100
人数
6
17
14
8
5
则他们捐款金额的众数和中位数分别是（）

A、10，10 B、17，14 C、10，20 D、10，14

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5. 将方程 $2 x^{2} - 12 x + 1 = 0$ 配方成 ${(x - m)}^{2} = n$ 的形式，下列配方结果正确的是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 17$ B、 ${(x + 3)}^{2} = \frac{17}{2}$ C、 ${(x - 3)}^{2} = 17$ D、 ${(x - 3)}^{2} = \frac{17}{2}$

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + k b + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则一次函数 $y = k x + b$ 的大致图像可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图， $P$ 是叶脉 $A B$ 的黄金分割点 $(P A > P B)$ ，则 $\frac{P B}{A P} =$ （）

A、 $\frac{A P}{A B}$ B、 $\frac{A B}{B P}$ C、 $\frac{A P}{B P}$ D、 $\frac{A P^{2}}{A B^{2}}$

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8. 现有A、B两组数据：数据A：1，2，3；数据B：2021，2022，2023；若甲数据的方差为a，乙数据的方差为b，则说法正确的是（）

A、 $a = b$ B、 $b = a + 2021$ C、 $b = a + 2022$ D、 $b = a + 2023$

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9. 端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以9元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200袋，若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1360元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　）

A、 $(15 - x - 9) (200 + 70 x) = 1360$ B、 $(15 - x) (200 + 70 x) = 1360$ C、 $(15 - x - 9) (200 - 70 x) = 1360$ D、 $(15 - x) (200 - 70 x) = 1360$

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10. 小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：

画法

图形

1．以A为端点画一条射线；

2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；

3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．

这一画图过程体现的数学依据是（）

A、两直线平行，同位角相等 B、两条平行线之间的距离处处相等 C、垂直于同一条直线的两条直线平行 D、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

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11. 如图2中的矩形边长分别是将图1中的矩形边长4拉长2x，边长5拉长x得到的，若两个矩形相似（不全等），则x的值是（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12. 某次数学测试，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（）

A、频数分布直方图中组距是10 B、本次抽样样本容量是60 C、 $70.5 — 80.5$ 这一分数段的频数为18 D、这次测试及格（不低于60分）率 $92 %$ 以上

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13. 直线 $y = x + a$ 不经过第二象限，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 实数解的个数是（）.

A、0个 B、1个 C、2个 D、1个或2个

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14. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，菱形 $A B C D$ 和等边 $△ E F G$ 在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间，点A，F分别在 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上，点B，D，E，G在同一直线上：若 $∠ α = 50 °$ ， $∠ A D E = 146 °$ ，则 $∠ β =$ （）

A、 $42 °$ B、 $43 °$ C、 $44 °$ D、 $45 °$

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二、填空题（每题3分，共15分）

15. 甲、乙两篮球队队员身高的平均数都为 $2.08$ 米，方差分别是 $s_{甲}^{2}$ ， $s_{乙}^{2}$ ，且 $s_{甲}^{2} > s_{乙}^{2}$ ，则队员身高比较整齐的球队是．

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16. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的解，则此三角形的第三边长是．

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17. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ， $A B = 6$ ， $B D = 2$ ，则 $C D$ 的长为．

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18. 如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是位似图形，点 $O$ 为位似中心，已知 $B O : O E = 2 : 1$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的面积之比是．

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19. 已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分率是．

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三、解答题（本大题共5小题，共43分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. （1）用公式法解方程： $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ ．
（2）用配方法解方程： $x^{2} - 2 x - 2022 = 0$
（3）用因式分解法解方程 ${(2 x + 3)}^{2} = {(3 x + 2)}^{2}$

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $B C$ 边上一点，连接 $D E$ ， F为线段 $D E$ 上一点，且 $∠ A F D = ∠ C$ ．

(1)、求证： $△ A D F$ ∽ $△ D E C$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A D = 6 \sqrt{3}$ ， $A F = 4 \sqrt{3}$ ，求 $D E$ 的长．

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22. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k - 3) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、求证： $x_{1} < 0$ ， $x_{2} < 0$ ；

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23. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：

161，162，162，164，165，165，165，166，

166，167，168，168，170，172，172，175

b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：

平均数

中位数

众数

166.75

m

n

(1)、写出表中m，n的值；

(2)、对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高
162
165
165
166
166
乙组学生的身高
161
162
164
165
175

(3)、该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为 $\frac{32}{9}$ ．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 $\frac{32}{9}$ ，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和．

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24. 乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期
10月8日
10月11日
10月12日
发布次数
第1次
第2次
第3次
票房
10亿元
12.1亿元

(1)、平均每次累计票房增长的百分率是多少？

(2)、在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票

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25. 某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究：
【问题发现】（1）如图①，在等边三角形ABC中，点M是BC边上任意一点，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ABC和∠ACN的数量关系为；
【变式探究】（2）如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，点M是BC边上任意一点（不含端点B，C，连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠AMN＝∠ABC，AM＝MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；
【解决问题】（3）如图③，在正方形ADBC中，点M为BC边上一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中心，连接CN，AB，AE，若正方形ADBC的边长为8，CN＝ $\sqrt{2}$ ，直接写出正方形AMEF的边长．

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甲组学生的身高	162	165	165	166	166
乙组学生的身高	161	162	164	165	175

发布日期	10月8日	10月11日	10月12日
发布次数	第1次	第2次	第3次
票房	10亿元		12.1亿元

笔试	面试	实际操作
$94$	$80$	$90$

金额/元	5	10	20	50	100
人数	6	17	14	8	5

平均数	中位数	众数
166.75	m	n