浙江省宁波市镇海区2023-2024学年第二学期八年级期末质量检测数学试卷

试卷更新日期：2024-08-01 类型：期末考试

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一、选择题（每小题 3 分, 共 30 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求）

1. 围棋起源于中国，截取对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 将 $(\sqrt{5})^{2}$ 化简，正确的结果是（ )

A、5 B、-5 C、 $\pm 5$ D、25

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3. 二次函数 $y = x^{2} + 2 x + 1$ 的顶点坐标为 ( )

A、 $(- 1,0)$ B、 $(1,0)$ C、 $(0, - 1)$ D、 $(0,1)$

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4. 已知矩形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，则下列结论不一定正确的是 ( )

A、 $A C = B D$ B、 $O A = O B$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $∠ A B C = ∠ B A D$

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5. 如图，已知河堤横断面迎水坡 $A B$ 的坡度 $i = 1 : \sqrt{3} (A 、 B$ 两点之间的垂直距离与水平距离的比)，堤宽 $A C = 30$ 米，则坡面 $A B$ 的长度是 ( )

A、 $20 \sqrt{3}$ 米 B、30 米 C、10 $\sqrt{3}$ 米 D、10米

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6. 小海参加学校举行的 “中国少年说” 演讲比赛， 7 位评委分别给他打分得到一组数据，为了比赛更加公平，这组数据要去掉一个最高分和一个最低分，得到一组新数据. 比较两组数据，一定不会发生变化的统计量是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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7. 用反证法证明 “已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，求证： $∠ B < 90^{\circ}$ ” 时，第一步应假设（ )

A、 $∠ B \neq 90^{\circ}$ B、 $A B \neq A C$ C、 $∠ B > 90^{\circ}$ D、 $∠ B ⩾ 90^{\circ}$

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8. 若点 $A (- 4, a), B (1, b), C (3, c)$ 都在反比例函数 $y = \frac{k^{2} + 1}{x} (k$ 为实数 $)$ 的图象上，则 $a, b, c$ 大小关系正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 4 \sqrt{2}, A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $F$ 在 $A D$ 上， $A F = 8$ ，若点 $G 、 E 、 H$ 分别为 $B F 、 A C 、 A B$ 的中点，连结 $G E, H E, H G$ ，则 $G E$ 的长为（）

A、4 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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10. 已知二次函数 $y = a (x - m + 4) (x + m) + 2 （ a \neq 0 ）$ 的图象上有两点 $A (x_{1}, p), B (x_{2}, q)$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，则（）

A、若 $a > 0$ ，当 $x_{1} + x_{2} > - 5$ ，则 $p > q$ B、若 $a > 0$ ，当 $x_{1} + x_{2} < - 3$ ，则 $p > q$ C、若 $a < 0$ ，当 $x_{1} + x_{2} > - 3$ ，则 $p > q$ D、若 $a < 0$ ，当 $x_{1} + x_{2} < - 5$ ，则 $p > q$

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二、填空题（每小题 3 分, 共 18 分)

11. 二次根式 $\sqrt{2 a - 1}$ 中字母 $a$ 的取值范围是

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12. 甲、乙两人进行射击测试，两人 10 次射击的平均成绩都是 9.2 环，方差分别是 $S_{甲}^{2} = 0.76$ 环 $^{2}$ ， $S_{乙}^{2} = 1.16$ 环 $^{2}$ ，在本次射击测试中，这两个人成绩更稳定的是(填甲或乙).

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13. 已知一个多边形的内角和是 $720^{\circ}$ ，则这个多边形是边形.

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14. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象，由图象可知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解是.

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15. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 30^{\circ}, A B = 2, B C = 4$ ，分别以 $A B, B C, C D, A D$ 为一边，在平行四边形 $A B C D$ 外部作正方形 $A B F E, B C H G, C D J, A D K L$ . 若 $M, N, O, P$ 是各正方形对角线的交点，则四边形 $M N O P$ 的面积等于.

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16. 如图，第二象限的点 $B 、 C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上，延长 $C B$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，点 $E$ 是 $x$ 轴负半轴上的一点， $O E = 2$ ，连结 $O C, O B, C E$ ，若 $O C = O B, C B = 2 C E, ∠ O E C = 135^{\circ}$ ，则 $k$ 的值是.

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三、解答题 (第 17 题 6 分, 第 18−20 题每题 8 分, 第 21−23 题每题 10 分, 第 24 题 12 分

17. 计算： $\sqrt{8} + (\sqrt{6} + \sqrt{5}) (\sqrt{6} - \sqrt{5}) - \sqrt{\frac{1}{4}}$

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18. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x = 8$

(2)、 $(3 x - 4)^{2} = (4 x - 3)^{2}$

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19. 某校为了了解初三学生寒假期间参加体育锻炼的天数，随机抽取了部分初三学生进行调查，并绘制了如下的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出)，请根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)、本次调查中，体育锻炼天数的众数为天，中位数为天.

(2)、请补全条形统计图.

(3)、如果该校初三有 1600 名学生，请你估计初三约有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于 7 天.

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，如果 $a, b, c$ 满足 $3 a + 2 b + c = 0$ ，我们就称这个一元二次方程为波浪方程.

(1)、判断方程 $2 x^{2} - x - 4 = 0$ 是否为波浪方程，并说明理由.

(2)、已知关于 $x$ 的波浪方程 $a x^{2} - 2 x + c = 0$ 的一个根是 -1 ，求这个波浪方程.

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21. 如图 1， $C D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $E 、 F$ 分别是边 $B C 、 A C$ 上的点，满足 $C E = C F$ ，连结 $E F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，且 $C G = G D$ ，连结 $D E 、 D F$ .

(1)、求证：四边形 $C E D F$ 是菱形.

(2)、如图 2，若 $∠ B A C = 90^{\circ}, ∠ B = 60^{\circ}, B C = \sqrt{3} + 2$ ，求菱形 $C E D F$ 的边长.

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22. 某商场 4 月份以每个 50 元的价格销售某种品牌的玩具， 4 月份一共销售了 40 个. 商场在 5 月份和 6 月份都进行了涨价，且玩具销售额逐月增加，若 6 月份的玩具销售额为 2880 元. (销售额 $=$ 销售单价 $\times$ 销售数量)

(1)、求从 4 月份到 6 月份，玩具销售额的月平均增长率.

(2)、经过市场调查发现，每个玩具的销售价格每增加 5 元，月销售量减少 1 个，且 6 月份每个玩具的销售价格小于 100 元. 求 6 月份每个玩具的销售价格.

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23. 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方案

素材一

图 1 是一座隐藏在漳州城市中的 “彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由 200 多个铁架和 2400 多个灯笼组成.

如图 2，每个铁架的横截面可以分为 3 段，其中 $A B 、 C D$ 是固定支架，分别与地面 $B D$ 垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面 $B D$ 的距离是 $\frac{43}{14} m, B D = 4 m, A B = C D = 2.5 m$ .

素材二

由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为 $0.25 m$ 的彩色灯带，沿抛物线 (主体支架)安装 (如图 3)，且相邻两条灯带安装点的水平间距为 $0.4 m$ . 为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于 2.5 m . 灯带安装好后成轴对称分布.

问题解决

(1)、【任务一：确定主体支架的形状】请在图 2 中以点

A

为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式.

(2)、【任务二：探究安装范围】在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围.

(3)、【任务三：拟定设计方案】在同一个横截面下，最多能安装几条灯带? 并求出此时最右边灯带安装点的坐标.

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24. 如图 1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{2}, A D = 7, ∠ A B C = 45^{\circ}$ ，点 $E, F$ 分别为边 $A D, B C$ 上的动点 (不与顶点重合)，且 $A E = C F$ ，连结 $E F$ ，将四边形 $C F E D$ 沿着 $E F$ 折叠得到四边形 $C^{^{'}} F E D^{^{'}}$ .

(1)、连结 $B D$ 交 $E F$ 于点 $O$ ，连结 $B D^{^{'}}$ .
①求证： $O B = O D$ .
②若 $O F = B D^{^{'}}$ ，求 $D E$ 的长.

(2)、若点 $C^{^{'}}$ 落在平行四边形 $A B C D$ 的边上，请直接写出 $C C^{^{'}}$ 所有可能的值.

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