浙江省绍兴市越城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-08-01 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{8} + \sqrt{2} = 4$ C、 $\sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ D、 $(1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2}) = 1$

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2. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ ，此方程可变形为（）

A、 $(x + 1)^{2} = 4$ B、 $(x + 1)^{2} = 5$ C、 $(x + 2)^{2} = 4$ D、 $(x + 2)^{2} = 5$

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4. 对于反比例函数 $y = \frac{9}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、图象经过点 $(3, - 3)$ B、图象关于直线 $y = x$ 对称 C、图象位于第二、四象限 D、在每一个象限内， $y$ 随着 $x$ 的增大而增大

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5. 牛顿曾说过： “反证法是数学家最精当的武器之一.” 那么我们用反证法证明命题 “等腰三角形的底角是锐角" 时，第一步应假设（）

A、等腰三角形的底角是直角或钝角 B、等腰三角形的底角是直角 C、等腰三角形的底角是钝角 D、等腰三角形的底角是锐角

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6. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} = - 1, x_{2} = 2$ B、 $x_{1} = 1, x_{2} = - 2$ C、 $x_{1} + x_{2} = 3$ D、 $x_{1} x_{2} = 2$

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7. 已知 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ 是反比例函数 $y = \frac{2024}{x}$ 的图象上的三个点，且 $x_{1} < x_{2} < 0$ ， $x_{3} > 0$ ，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是 ( )

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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8. 如图，对折等边 $△ A B C$ 纸片，展开铺平，折痕为 $C H$ （如图 1），再折叠纸片，使点 $A, B$ 都落在 $C H$ 上，且与点 $D$ 重合，折痕分别为 $E H$ 利 $F H$ (如图 2). 在此基础上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案：
小聪说：将纸片沿 $E F$ 向上折叠，使得点 $H$ 落在点 $G$ 处.
小明说：将 $∠ C E D$ 对折，使得角两边 $E C$ 与 $E D$ 正合，折痕交 $C H$ 于点 $G$ .
两种方案折叠后均展开铺平，连结 $E G, F G$ ，则以上方案中折出的四边形 $E H F G$ 为正方形的是（）

A、两个方案都能 B、小聪的方案 C、小明的方案 D、两个方案都不能

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9. 如图，直线 $y = k x + 6 (k \neq 0)$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A, B$ ，点 $C$ 为第一象限内一点，以 $A B$ ， $B C$ 为邻边向右作 $A B C D$ ，若 $A B C D$ 的面积为 12 ，则直线 $C D$ 必经过一点，这个点的坐标为（）

A、 $(3,4)$ B、 $(3,2)$ C、 $(1,6)$ D、 $(2,6)$

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10. 如图 1 是由 8 个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块（如图 2)，就可以拼成一个大正方形（如图 3). 由 5个同样大小的正方形组成的纸片（如图 4），要解拼成一个大正方形，则需要在图 4 的纸片中最少剪（）

A、1 刀 B、2 刀 C、3 刀 D、4 刀

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二、填空题 (本大题共 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分)

11. 要是二次根式 $\sqrt{3 - x}$ 有意义， $x$ 能取的值可以是(写出一个即可).

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12. 一个多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个多边形的边数是

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13. 随着我国人口的负增长，新建住房数量不断增加，许多城市商品房的价格不断下降，某城市一楼盘商品房经过连续两次降价，销售单价由原来的3万元/m²降到现在的2.43万元/m² ，设该楼盘商品房销售单价平均每次降价的百分率为x，则可列方程为

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14. 定义运筫 “ *” 的运筫法则为： $a * b = \sqrt{(b - a) (b + a)}$ ，其中 $a, b$ 为非负实数，且 $b > a$ ，则 $\sqrt{7} * 3 =$

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15. 如图，点 $A (a, b), B (\frac{1}{3} a, 3 b)$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象第一象限上的两点，连结 $A O, B O$ 并延长，分别交反比例函数的图象于点 $C, D$ ，连结 $A B, B C, C D, D A$ . 若四边形 $A B C D$ 的面积为 16 ，则 $k$ 的值为

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为 6 ，点 $E$ 是线段 $B C$ 上一点，且 $B E = 2$ ，点 $F$ 是直线 $C D$ 上一动点，以 $E F$ 为边作正方形 $E F G H (E, F, G, H$ 逆时针排列)，连结 $H A$ ，直线 $H A$ 与直线 $C D$ 交于点 $P$ . 若点 $A, H, P$ 中的任意一点到其余两点距离相等，则 $E F$ 的长为.

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三、解答题 (本大题共 8 小题, 共 72 分. 解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.

(1)、计算： $\sqrt{18} + \sqrt{\frac{5}{2}} \times \sqrt{20} - \sqrt{32}$

(2)、解方程： $x^{2} + 6 x + 9 = 2 (x + 3)$ .

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18. 某校想从甲、乙两名学生中推选一人参加区级小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表：

(1)、求这6次测试中，甲的中位数和乙的平均分；

(2)、为了使推选的学生在区级小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的推选理由.

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19. 图①、图②、图③均为8x8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上.请按要求仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法.

(1)、在图①的网格内找一点D，使得四边形ABCD为菱形，并作出此菱形；

(2)、在图②的网格内作一点E，满足点E在线段BC上，且AE⊥BC；

(3)、在图③的网格内作一点F，满足点F在线段BC上，且AF平分∠BAC.

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 2 m - 1 = 0$ ，其中 $m$ 为常数.

(1)、若 $x = 2$ 是方程的一个根，求 $m$ 的值；

(2)、当 $m = - 1$ 时，求该方程的根；

(3)、若方程有实数根，且 $m$ 为正整数，求 $m$ 的值及此时方程的根.

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21. 如图、在矩形 $A B C D$ 中， $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，分别过点 $B, D$ 作 $B E ⊥ A C, D F ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $B F, D E$ .

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 为平行四边形；

(2)、分别取 $D E, B F$ 的中点 $M, N$ ，连结 $F M, E N$ . 若 $A D = 4$ ，求四边形 $M F N E$ 的面积.

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22. 如图，某校旁边有一块长为 40 m ，宽为 30 m 的矩形荒地，地方政府准各在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼. 图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼 (其中每个矩形的一边长均为 $a (m)$ ).

(1)、设通道的究度为 $x (m)$ ，则 $a =$ (用含 $x$ 的代数式表示)；

(2)、若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为 $850 m^{2}$ ，请问通道的宽度为多少?

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23. 如图，一次函数 $y_{1} = a x + b (a \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A (6,1), B (- 3, m)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ .

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、当 $y_{1} > y_{2}$ 时，根据图象直接写出 $x$ 的取值范围；

(3)、设点 $E$ 为第一象限内反比例函数图象上的点，当 $∠ E B A = 45^{\circ}$ 时，求直线 $B E$ 的函数表达式.

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24. 折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养．
【操作发现】
如图，一张菱形纸片ABCD，∠ABC=60°，AB=6cm，E，F分别为边AD，BC上的两个动点，小明将菱形纸片沿着EF翻折，得到四边形A'B'FE，点A，B的对应点分别为点A^' ， B^' ．他发现了：点E从点A开始运动到点D结束的过程中，总能找到一个点F，使得点A^' ， C，B^'三点在同一直线上．

【深入探究】

操作	探究内容	图形
操作一	当点E位于AD中点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着EF翻折后，使得点D，A^' ， C，B'四个点在同一直线上.
操作二	将菱形纸片沿着EF翻折后，使得点A'，C，B'三点在同一直线上，且得到△B'CF是直角三角形.
操作三	当当点E位于AD靠近点D的三等分点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着EF翻折后，使得点A'，C，B^'三点在同一直线上，且A^'E与CD交于点G.

【解决问题】

(1)、根据操作一探究内容，求证：

A B = E F

；

(2)、根据操作二探究内容，当

△ B^{^{'}} C F

为直角三角形时，求

B F

的长度；

(3)、根据操作三探究内容，直接写出

C G

的长度.

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