贵阳市南明区永乐第一中学2023-2024学年度八年级下学期6月质量监测数学试卷

试卷更新日期：2024-08-01 类型：月考试卷

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一、选择题 (本题共 12 小题, 每小题 3 分, 共 36 分)

1. 下列各式中，能与 $\sqrt{2}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{24}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{8}$

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2. 直角三角形的两条直角边长分别为 $a, b$ ，斜边长为 $c$ ，若 $a = 5, c = 13$ ，则 $b$ 的值为（）

A、4 B、8 C、12 D、144

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3. 某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选 18 名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是 1.72 米，其方差分别是 $s_{甲}^{2} = 3.24, s_{乙}^{2} = 1.63$ ，则参赛学生身高比较整齐的班级是（）

A、甲班 B、乙班 C、同样整齐 D、无法确定

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4. 如图是正比例函数 $y = k x$ 的图象，则 $k$ 的值可能是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、-1

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5. 在 $A B C D$ 中，如果 $∠ A + ∠ C = 4 ∠ B$ ，那么 $∠ B$ 的大小是（）

A、 $45^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $75^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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6. 如图，爷爷家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=6米，爷爷想把四边形BCFE用篱笆围成一圈种植蔬菜，则需要篱笆的长是（　　）

A、16 米 B、22 米 C、27 米 D、30 米

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7. 小明和哥哥—起同速去离家 1600 m 的菜鸟驿站，小明取完包裹后随即原路原速度返回，哥哥花了 8 min 寄出一个包裹后原路原速度返回，下面的图象表示小明和哥哥之间的距离与时间之间的关系，其中较合理的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知点 $A (- 2, y_{1}), B (0, y_{2})$ 在一次函数 $y = (k + 2) x +$ $b$ 的图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k ⩾ - 2$ B、 $k ⩽ - 2$ C、 $k < - 2$ D、 $k > - 2$

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9. 实数 $a, b$ 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $\sqrt{(a + b)^{2}} + \underset{}{\sqrt{(a - b)^{2}} - (\sqrt{a})^{2}}$ 的结果为（）

A、 $2 b - a$ B、 $a$ C、 $- 2 b - a$ D、 $- 3 a$

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10. 如图，在 $A B C D$ 中， $A D > A B$ ，以点 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧与 $A D$ 交于点 $F$ ，然后分别以 $B, F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B B$ 的长为半径画弧交于点 $G$ ，连接 $A G$ 并延长交 $B C$ 于点 $E$ . 若 $B F = 6, A B = 4$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、5 D、10

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11. 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E、F分别是直角边AB和斜边AC上的点，把△ABC沿着直线EF折叠，点A恰好落在BC边的中点D上，则线段BE的长度为（　　）

A、 $\frac{17}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、3 D、4

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12. 线段 $y = - \frac{1}{2} x + a (1 ⩽ x ⩽ 3)$ ，当 $a$ 的值由 -1 增加到 2 时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）

A、6 B、8 C、9 D、10

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二、填空题 (本题共 4 小题, 每题 4 分, 共 16 分)

13. 若 $\sqrt{2 x + 1}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是。

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14. 已知 Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}, a + b = 14 c m, c = 10 c m$ ，则 Rt $△ A B C$ 的面积等于 ${c m}^{2}$ .

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15. 如图，一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ 与 $y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ 的图象交于点 $P (2, m)$ ，则 $3 k_{1} + b_{1}$ $3 k_{2} + b_{2} ($ 填" $>$ "或" $<$ " $)$ 。

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16. 图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且AE=2CE，点H为边AB上一点，且BH=2AH，连接DH与AC相交于点G，过点E作EF⊥DH于点F，若AB的长为6，则EF的长为。

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三、解答题 (共 98 分)

17. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} - \sqrt{2} \times \sqrt{6}$

(2)、 $4 \sqrt{10} \div 2 \sqrt{2} + (\sqrt{5} - 1)^{2}$

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18. 遵义市某中学开展以“共建书香校园，同享读书之乐”为主题的书香校园活动．为有效了解学生课外阅读情况，“善学”兴趣小组随机调查了部分学生每周课外阅读的时间．设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它们分为五个等级：A（0≤x＜1），B（1≤x＜2），C（2≤x＜3），D（3≤x＜4），E（x≥4），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

(1)、本次共调查了 ▲ 名学生，被调查学生每周课外阅读总时间的中位数在 ▲ 等级，请补全条形统计图；

(2)、若该校共有 1500 名学生，请估算每周课外阅读的总时间不低于 3 小时的学生约有多少名.

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19. 如图，在 $4 \times 4$ 的方格纸中，每个小正方形的边长都为 $1, △ A B C$ 的三个顶点都在格点上，已知 $A C = 2 \sqrt{5}$ ， $B C = \sqrt{5}$ .

(1)、画出 $△ A B C$ ；

(2)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由.

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20. 如图，已知直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $C$ 的坐标为 $(- 1,0)$ ，连接 $B C$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的面积：

(2)、在直线 $A B$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $S_{△ P O A} = 2 S_{△ B O A}$ ?若存在，请求出点 $P$ 坐标；若不存在，请说明理由。

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21. 请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．

(1)、在图①中，点C为线段AB上一点且不与A，B两点重合．分别以AC，BC为边向AB的同侧作锐角为60°的菱形，连接DF．若AC=BC，作出线段DF的中点M；

(2)、在图②中，四边形ABCD是矩形，BC边所在的直线上有E，F两点，且BE=CF，画出该图形的对称轴．

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22. 菱形是一个比较有美感的图形，小明学习了菱形后非常喜欢菱形的美，想在如图的 $△ A B C$ 中画出一个菱形，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，他认真思考后在 $△ A B C$ 中按以下步骤作图：
①分别以 $A, D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径画弧，两弧交于 $M, N$ 两点；
②作直线 $M N$ 分别交 $A C, A B$ 于点 $E, F$ ；
③连接 $D E, D F$ .

(1)、根据小明的作图步骤，请用直尺和圆规，按以上步骤完成作图（保留作图痕迹）；

(2)、小明作出的四边形 $A E D D F$ 是菱形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由。

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23. 小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算：
① $\sqrt{9^{2} + 19}$ ；
② $\sqrt{99^{2} + 199}$ ；
③ $\sqrt{999^{2} + 1999}$ ；
④ $\sqrt{9999}^{2} + 19999$ .
小明身边没有计算器而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成：
$\begin{array}{r} \sqrt{9^{2} + 19} = \sqrt{9^{2} + 2 \times 9 + 1} = \sqrt{(9 + 1)^{2}} = \sqrt{10^{2}} = 10; \\ \sqrt{99^{2} + 199} = \sqrt{99^{2} + 2 \times 99 + 1} = \sqrt{(99 + 1)^{2}} = \sqrt{100^{2}} = 100; \\ \sqrt{999^{2} + 1999} = \sqrt{999^{2} + 2 \times 999 + 1} = \sqrt{(999 + 1)^{2}} = \\ \sqrt{1000^{2}} = 1000; \\ \sqrt{9999^{2} + 19999} = \sqrt{9999^{2} + 2 \times 9999 + 1} = \sqrt{(9999 + 1)^{2}} = \\ \sqrt{10000^{2}} = 10000; \\ \dots \dots \\ \sqrt{\underset{n ↑ 9}{\underset{⏟}{99 \dots 9^{2}}} + 1 \underset{n ↑ 9}{\underset{⏟}{19 \dots 9}}} = 1 \underset{n 个 0}{\underset{⏟}{10 \dots 0}} . \end{array}$
观察上述解法，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出 $\sqrt{49^{2} + 99}$ 的结果，并解决后续的问题。

(1)、由此得到 $\sqrt{49^{2} + 99}$ =。

(2)、根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图(1)是边长为 756 和 $\sqrt{1513}$ 的两个正方形，图②是由图①通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长.

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24. 周末，甲、乙两同学从学校出发，骑自行车去图书馆．两人同时从学校出发，以每分钟a米的速度匀速行驶，出发5分钟时，甲同学发现忘带学生证，以a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证后（在学校取学生证的时间忽略不计），立即以另一速度追赶乙．甲追上乙后，两人继续以a米/分的速度前往图书馆，乙骑自行车的速度始终不变．设甲、乙两名同学相距的路程为s（米），行驶的时间为x（分钟），s与x之间的函数图象如图①所示；甲同学距图书馆的路程为y（米），行驶的时间为x（分钟），y与x之间的部分函数图象如图②所示．

(1)、学校与图书馆之间的路程为米， $a =$ 。

(2)、当两人相距 1000 米时，求 $x$ 的值；

(3)、请在图②中补全 $y$ 与 $x$ 之间的函数图象.

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25. 在▱ABCD中，∠C=45°，AD=BD，点P为边CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BD于点E．

(1)、如图①，当点P是边CD的中点时，求证：∠APD=∠EPB；

(2)、如图②，当点P是边CD上任意点时，
①求证：PA=PE；
②探究线段DE，DA和DP之间的数量关系．

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