广东省广州市番禺区2023-2024学年七年级（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-08-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列各式中，正确的是（）

A、 $\sqrt{16} = \pm 4$ B、 $\pm \sqrt{16} = 4$ C、 $\sqrt[3]{- 27} = - 3$ D、 $\sqrt{{(- 4)}^{2}} = - 4$

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2. 下列各图中， $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 是对顶角的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列实数中是无理数的是( )

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $3.14$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt[3]{- 8}$

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4. 不等式 $3 - 3 x > 0$ 的解集在数轴上表示正确的是( )

A、 B、 C、 D、

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5. 如果 $a > b$ ，那么下列各式中错误的是（）

A、 $a - 2 > b - 2$ B、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$ C、 $- 3 a > - 3 b$ D、 $5 a + 2 > 5 b + 2$

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6. 如图所示，下列条件中能说明 $a / / b$ 的是( )

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 3 = ∠ 4$ C、 $∠ 2 + ∠ 4 = 180 °$ D、 $∠ 1 + ∠ 4 = 180 °$

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7. 如图所示是某校举行学生“环保知识”竞赛成绩的频数分布直方图 $($ 每一组含前一个边界值，不含后一个边界值 $)$ ，其中成绩在 $80$ 分以下的学生有 $()$ 人．

A、 $140$ B、 $120$ C、 $70$ D、 $60$

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8. 下列命题是真命题的是( )

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、相等的角是对顶角 C、同旁内角互补 D、如果直线 $a ⊥ b$ ， $b / / c$ ，那么 $a ⊥ c$

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9. 若点 $A (a - 4,3 - a)$ 在 $x$ 轴上，则点 $A$ 的坐标为( )

A、 $(- 1,0)$ B、 $(- 2,0)$ C、 $(3,0)$ D、 $(- 4,3)$

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10. 如图，把一个含 $30 °$ 角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，
若 $∠ 1 = 33 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为( )

A、 $33 °$ B、 $27 °$ C、 $25 °$ D、 $17 °$

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

11. 实数 $- \sqrt{6}$ 的相反数是．

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12. 不等式 $2 x + 4 \geq 6$ 的解集为．

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13. 方程组 $\{\begin{array}{l} x = y + 3 \\ 3 x - 8 y = 14 \end{array}$ 的解是．

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14. 若 $| x | = \frac{2}{3}$ ，则 $x =$ ．

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15. 如图，点 $E$ 在 $A C$ 的延长线上，请添加一个恰当的条件，使 $A B / / C D$ ．

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16. 点 $A (5, - 3)$ 向左平移 $3$ 个单位，再向下平移 $2$ 个单位后的坐标是．

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17. 已知， $x = 3$ 、 $y = 2$ 是方程组 $\{\begin{array}{l} 6 x + b y = 32 \\ a x - b y = 4 \end{array}$ 的解，则 $a - b =$ ．

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18. 如图， $A F / / C D$ ， $B D$ 平分 $∠ E B F$ ，且 $B C ⊥ B D$ ，下列结论： $① B C$ 平分 $∠ A B E$ ； $② A C / / B E$ ； $③ ∠ C B E + ∠ D = 90 °$ ； $④ ∠ D E B = 2 ∠ B C D .$ 其中正确结论为 $($ 只填写序号 $)$ ．

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三、计算题：本大题共1小题，共7分。

19. 解不等式组 ${\begin{cases} 5 x + 2 > 3 (x - 1) ， ① \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x ， ② \end{cases}$ ，并把解集在数轴上表示出来.

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四、解答题：本题共8小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20. 计算：

(1)、 $| \sqrt[3]{- 64} |$ ；

(2)、 $| \sqrt{2} - \sqrt{3} | + 2 \sqrt{2}$ ；

(3)、 $\sqrt[3]{8} + (- 2) \times (- 1)^{2}$ ．

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21. 解方程组： $\{\begin{array}{l} x - 2 y = 1 \dots ① \\ 3 x + 4 y = 23 \dots ② \end{array}$ ．

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22. 如图，平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在网格点上．

(1)、写出点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

(2)、将 $△ A B C$ 平移后得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，点 $A$ 的对应点为 $A^{'} (0,0)$ ，画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，并写出点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 的坐标；

(3)、设 $△ A O C^{'}$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ ．

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23. 某校为了提高学生参加大课间活动的积极性，丰富大课间活动项目，对“学生体育活动兴趣爱好”问题进行了一次随机抽样调查，并根据调查结果绘制成如下的不完整的条形统计图和扇形统计图：
试根据统计图信息，解答下列问题：

(1)、在这次调查中，调查的总人数是多少？喜欢篮球项目的同学有多少人？

(2)、请将条形统计图补充完整．

(3)、如果该校有 $1600$ 名学生，估计全校学生中有多少人喜欢“乒乓球”项目？

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24. 在下面的括号内，补充完成其证明过程，并填上推理的依据．
如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ A = ∠ D$ ，求证： $∠ B = ∠ C$ ．
证明： $∵ ∠ 1 = ∠ 2 ($ 已知 $)$ ， $∠ 1 = ∠ 3 ($ _▲_ $)$ ，
$∴ ∠ 2 = ∠ 3 ($ 等量代换 $)$ ．
$∴ A F / /$ _▲_ $($ _▲_ $) .$
$∴ ∠ D = ∠ 4 ($ _▲_ $) .$
$∵ ∠ A = ∠ D ($ 已知 $)$ ，
$∴ ∠ A = ∠ 4 ($ _▲_ $) .$
$∴ A B / /$ _▲_ $($ _▲_ $) .$
$∴ ∠ B = ∠ C ($ _▲_ $) .$

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25. 某养牛场原有 $30$ 头大牛和 $15$ 头小牛，一天约用饲料 $675 k g$ ；一周后又购进 $12$ 头大牛和 $5$ 头小牛，这时一天约用饲料 $940 k g .$ 饲养员张大叔估计每头大牛一天约需饲料 $13 ～ 16 k g$ ，每头小牛一天约需饲料 $4 ～ 6 k g$ ，请通过计算来检验他的估计是否准确．

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26. 如图，已知直线 $B C$ 平分 $∠ A B D$ 交 $A D$ 于点 $E$ ，且 $∠ 2 = ∠ 3$ ．

(1)、判断直线 $A B$ 与 $C D$ 是否平行？并说明你的理由；

(2)、若 $A D ⊥ B D$ 于 $D$ ， $∠ C D A = α$ ，求 $∠ 2$ 的度数 $($ 用含 $α$ 的代数式表示 $)$ ．

(3)、连接 $A C$ ，以点 $D$ 为坐标原点， $D C$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系，点 $B$ 、 $C$ 的坐标分别为 $(- 1, \sqrt{3})$ 、 $(2,0)$ ，且 $△ A B D$ 的面积等于 $△ B D C$ 的面积与 $△ A D C$ 的面积之和，求点 $A$ 的坐标．

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27. 某书店用 $3000$ 元首次购进了甲、乙两种图书，甲种图书每本进价为 $18$ 元，乙种图书每本进价为 $15$ 元，书店在销售时甲种图书每本售价为 $26$ 元，乙种图书每本售价为 $20$ 元，全部售完后共获利润 $1200$ 元．

(1)、求书店购进甲、乙两种图书各多少本？

(2)、若书店以原进价再次购进甲、乙两种图书，购进甲种图书的数量是第一次的 $2$ 倍，而购进乙种图书的数量比第一次增加了 $50 % .$ 现在甲种图书降价出售，而乙种图书按原售价打九折出售 $.$ 当两种图书销售完毕时，要使再次获利不少于 $1560$ 元，求甲种图书每本最低售价应为多少元？

(3)、某活动中心计划用 $300$ 元购买甲、乙两种图书，购买单价是 $(2)$ 的条件下的最低售价，在 $300$ 元恰好用完的条件下，有哪些可行的购买方案？哪种方案书店获利较少？

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