广东省揭阳市揭西县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-08-01 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 如图，要修建一条从村庄A到公路PQ的小路，过点A作 $A H ⊥ P Q$ 于点H ，沿AH修建小路，此时修建的小路最短，能准确解释这一现象的数学知识是（）

A、两点之间，线段最短 B、垂线段最短 C、过一点可以作无数条直线 D、两点确定一条直线2.下列说法正确的是

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2. 下列说法正确的是（）

A、“清明时节雨纷纷”是必然事件 B、了解市面上一次性餐盒的卫生情况需要做全面调查 C、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件 D、掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面朝上

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3. 下列材料在20℃时的电阻率如下表所示.
材料
银
铜
铝
钨
电阻率/（ $Ω$ ·m）
$1.6 \times 1 0^{- 8}$
$1.7 \times 1 0^{- 8}$
$2.9 \times 1 0^{- 8}$
$5.3 \times 1 0^{- 8}$
已知电阻率越高，导电能力越差，则在20℃时，导电能力最强的是（）

A、铝 B、铜 C、钨 D、银

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4. 在数学课上，老师给出三条边长分别为a ， b ， c的 $△ A B C$ ，其三个内角的度数如图所示.下面是4名同学用不同方法画出的4三角形，则根据图中已知的条件判断，其中不一定与 $△ A B C$ 全等的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 围棋是一种棋类游戏，属于琴棋书画四艺之一，其起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{4} = a^{7}$ B、 ${(a^{3})}^{4} = a^{7}$ C、 $a^{4} - a^{3} = a$ D、 $a^{3} \cdot a^{- 2} = a$

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7. 在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知 $∠ 1 = 102 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、68° B、78° C、98° D、102°

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8. 如图，在边长为 $a$ 的正方形里前去一个边长为 $b$ 的正方形，再将剩余图形沿虚线前开，拼成一个长方形，依据这一过程可以得到的公式是（）

A、 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ B、 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}$ C、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ D、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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9. 清明假期，刘老师乘车从学校到井冈山观赏映山红，缅怀革命先烈.已知学校距离井冈山150km，车行驶的平均速度为 $60 k m / h$ ， $x h$ 后刘老师距离井冈山 $y k m$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的关系式是（）

A、 $y = 150 - 60 x$ B、 $y = 150 + 60 x$ C、 $y = 60 - 150 x$ D、 $y = 60 + 150 x$

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10. 如图， $△ A B C$ 的面积是6， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， D ， E分别是BC ， AB上的动点，连接AD ， DE ，则 $A D + D E$ 的最小值是（）

A、 $\frac{24}{7}$ B、 $\frac{12}{7}$ C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 计算： $x^{2} \cdot x^{3} =$ .

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12. 实现中国梦，必须弘扬中国精神，在四张完全相同的卡片上分别写有“抗洪精神”“红船精神”“长征精神”“延安精神”，将卡片放在一个不透明的袋子中，摇匀后随机抽取一张，抽取到写有“红船精神”的卡片的概率是.

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13. 如图， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 关于直线l对称，且 $∠ A = 78 °$ ， $∠ C = 48 °$ ，则 $∠ B^{'}$ 的度数是.

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14. 如图，杯子内液体表面AB与杯子下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH ，点G在射线EF上.已知 $∠ H F B = 20 °$ ， $∠ F E D = 65 °$ ，则 $∠ G F H$ 的度数是.

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15. 某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制（任意2支球队之间都要比赛一场）.若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少场.

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三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）

16. 计算：

(1)、 $2 a \cdot a^{4} - a^{2} \cdot a^{3}$ ；

(2)、 $2 x (3 - 2 x) - (5 - 4 x) (x + 3)$ .

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17. 如图， $△ A D E ≌ △ B C F$ ， $A D = 8 c m$ ， $C D = 6 c m$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ E = 80 °$ .

(1)、求BD的长；

(2)、求 $∠ B C F$ 的度数.

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18. 如图，点O是一个加油站，OA ， OB是通往加油站的两条公路，EF是与OB平行的另一条公路.为了保证交警能对经过这三条公路的每辆车进行检查，交管部门准备在公路EF上建一个交警值班室，要求值班室到公路OA ， OB的距离相等，请你确定值班室P的位置（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）.

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四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19. 观察以下等式：
$(m + 1) (m^{2} - m + 1) = m^{3} + 1$ ；
$(m + 3) (m^{2} - 3 m + 9) = m^{3} + 3^{3}$ ；
$(m + 6) (m^{2} - 6 m + 36) = m^{3} + 6^{3}$ .

(1)、根据以上等式的规律，填空：
① $(a + 8) (a^{2} - 8 a + 64) =$ ；② $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) =$ ；

(2)、利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立.

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20. 为增强中小学生的交通安全意识，有效预防和减少交通事故的发生，某市交管部门组织交警深入各中小学开展“骑车戴头盔，万里平安行”的交通安全主题宣传教育活动，某中学为检验学生的学习效果，从全校随机抽取了若干名学生进行问卷测试（满分100分），并根据测试结果绘制了如题20图所示的两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下面的问题.

(1)、该中学问卷测试采取的调查方式是（填“全面调查”或“抽样调查”）；

(2)、在这次问卷测试中，抽取的学生一共有名，扇形统计图中m的值是；

(3)、若该中学共有1200名学生参与了此次交通安全主题宣传教育活动，估计本次活动中学习效果不达标（成绩低于60分）的学生人数.

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C > A B$ ， D是BA延长线上一点，E是 $∠ C A D$ 的平分线上一点，过点E作 $E F ⊥ A C$ 于点F ， $E C ⊥ A D$ 于点G.

(1)、求证 $△ E G A ≌ △ E F A$ ；

(2)、若 $∠ B E C = 2 ∠ G E A$ ，求证 $B G = C F$ .

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五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

22. 实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题.

(1)、【知识生成】一个长为2a ，宽为2b的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形.观察图形，写出一个 $(a + b)^{2}$ ， $(a - b)^{2}$ ， ab三者之间的等量关系式：；

(2)、【知识应用】运用（1）中的结论，若 $a + 2 b = 10$ ， $a b = 5$ ，求 $(a - 2 b)^{2}$ 的值；

(3)、【类比迁移】如图3，若 $2 a + b = 10$ ， $4 a^{2} + b^{2} = 36$ ，求阴影部分的面积.

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23. 综合实践：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，制作了如图1所示的“赵爽弦图”，弦图中四边形 $A B C D$ ，四边形 $E F C H$ 和四边形 $I J K L$ 都是正方形.某班开展综合与实践活动时，选定对“赵爽弦图”进行观察、猜想、推理与拓展.

(1)、小亮从弦图中抽象出一对全等三角形如图2所示，请你猜想线段AE ， BG ， AB之间的数量关系：；

(2)、小红从弦图中抽象出另一对全等三角形如图3所示，请你猜想线段EJ ， JK ， KG之间的数量关系：；

(3)、小明将图3中的KG延长至点M ，使得 $K M = K F$ ，连接EM与KF相交于点N ，请你在图3中画出图形.若 $F N = 3 N K$ ，求线段FJ与JK之间的数量关系.

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材料	银	铜	铝	钨
电阻率/（ $Ω$ ·m）	$1.6 \times 1 0^{- 8}$	$1.7 \times 1 0^{- 8}$	$2.9 \times 1 0^{- 8}$	$5.3 \times 1 0^{- 8}$