广东省深圳市深圳高级中学2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-08-01 类型：期末考试

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一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.答案填在答卷的指定位置上，否则不给分)

1. 2024年4月25日搭载神舟十八号载人飞船的长征二号 $F$ 遥十八运载火箭成功发射升空，叶光富、李聪、李广苏3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度下列航空航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列从左到右的变形中，是因式分解的为 ( )

A、 $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ B、 $x - 3 x y = x (1 - 3 y)$ C、 $3 x y^{2} = 3 x \cdot y \cdot y$ D、 $x^{2} + 2 x + 2 = x (x + 2) + 2$

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3. 根据下表中的数值，判断方程( $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0, a, b, c$ 为常数)的一个解 $x$ 的取值范围是( )
x
3.23
3.24
3.25
3.26

$a x^{2} + b x + c$
-0.04
-0.01
0.02
0.06

A、 $3 < x < 3.23$ B、 $3.23 < x < 3.24$ C、 $3.24 < x < 3.25$ D、 $3.25 < x < 3.26$

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4. 如图，下列条件能使平行四边形 $A B C D$ 是菱形的为（）
① $A C ⊥ B D$ ； ② $∠ B A D = 90 °$ ； ③ $A B = B C$ ； ④ $A C = B D$ ．

A、①③ B、②③ C、③④ D、①④

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5. 用配方法解下列方程，其中应在方程两边同时加上4的是（）

A、 $x^{2} - 2 x = 5$ B、 $x^{2} + 4 x = 5$ C、 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ D、 $4 x^{2} + 4 x = 5$

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6. 如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了 $A^{'}$ 点，若 $∠ O A A^{'} = 55 °$ ，则秋千旋转的角度为（）

A、 $55 °$ B、 $60 °$ C、 $65 °$ D、 $70 °$

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7. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，连接OE，若AD=4，CD=8，则OE的长为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 如图，直线 $y_{1} = k x + b$ 与直线 $y_{2} = - x + 5$ 交于点(1，m)，则不等式 $y_{1} < y_{2}$ 的解集为( )

A、 $x < 1$ B、 $x > 1$ C、 $x \leq 1$ D、 $x \geq 1$

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9. 下列说法正确的是（）

A、对角线互相垂直的四边形是菱形 B、顺次连接矩形四边中点形成的图形是菱形 C、对角线相等的矩形是正方形 D、对角线相等的四边形是矩形

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10. 如图，四边形ABCD中， BC∥AD， AC⊥BD， AC=3， BD=6，BC=1，则AD的长为( )

A、8 B、 $3 \sqrt{2} - 1$ C、 $3 \sqrt{2} + 1$ D、 $3 \sqrt{5} - 1$

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二、填空题(每小题3分，共15分.答案填在答卷的指定位置上，否则不给分)

11. 因式分解：x²-4y²= .

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12. 若m是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的一个解，则 $2 m^{2} - 6 m =$ ．

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13. 一个正多边形的内角和减外角和等于360°，则它的边数为.

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14. 关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} x - m < 0 \\ 3 - 2 x \leq 3 (x - 2) \end{matrix}$ 有且仅有3个整数解，那么m的取值范围为.

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15. 如图，在□ABCD 中， AG⊥BC， ∠ADB=30°， $B G = 2 \sqrt{5}, C G = \sqrt{3}, A G = 4,$ E为平行四边形对角线BD上一点， F为CD边上一点，且BE=CF，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为.

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三、解答题(共7题，合计55分.答案填在答卷的指定位置上，否则不给分)

16. 计算：

(1)、 $x^{2} - 4 x = 0$

(2)、 $x + \frac{1}{3} \leq \frac{x - 5}{2} .$

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17. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 9} \div \frac{x - 3}{x + 2},$ 其中 $x = \sqrt{3} - 3 .$

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18. 如图，在▱ABCD中， BC=2AB， E、F分别是BC、AD的中点， AE与BF交于点O，连接EF、OC.

(1)、求证：四边形 ABEF 是菱形；

(2)、若BC=8， ∠ABC=60°，求OC的长.

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19. 某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知 $1$ 件甲种农机具比 $1$ 件乙种农机具多 $3$ 万元，用 $30$ 万元购买甲种农机具的数量和用 $21$ 万元购买乙种农机具的数量相同．

(1)、求购买 $1$ 件甲种农机具和 $1$ 件乙种农机具各需多少万元?

(2)、若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共 $10$ 件，且购买的总费用不超过 $90$ 万元，则甲种农机具最多能购买多少件?

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20. 仅利用已有的格点与无刻度直尺作图．(保留作图痕迹)

(1)、在图 $1$ 中，作出面积最大的平行四边形 $A B C D$ ．

(2)、在图 $2$ 中， $D$ 是 $A C$ 中点，在 $A B$ 边上找到点 $E$ ，连接 $D E$ ，使 $D E ∥ B C$ ．

(3)、在图 $3$ 中，在 $C D$ 边上找到点 $E$ ，连接 $B E$ ，使 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ．

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21. 先阅读材料，再回答问题.
我们定义：形如 $x + \frac{m n}{x} = m + n$ (m、n为非零实数)，且两个解分别为 $x_{1} = m, x_{2} = n$ 的方程称为“可分解分式方程”.例如： $x + \frac{6}{x} = 5$ 为可分解分式方程，可化为 $x + \frac{2 \times 3}{x} = 2 + 3, ∴ x_{1} = 2, x_{2} = 3 .$
应用上面的结论解答下列问题：

(1)、若 $x - \frac{12}{x} = 4$ 为可分解分式方程，则： x₁= ， x₂=.

(2)、若可分解分式方程方程： $x - \frac{7}{x} = 5$ 的两个解分别为 $x_{1} = a, x_{2} = b,$ 求 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值.

(3)、若关于 $x$ 的可分解分式方程 $x - \frac{k^{2} - k - 6}{1 - x} = 2 k$ 的两个解分别为x₁、x₂(k为实数)，且 $x_{1} \cdot x_{2} = 6,$ 求k的值.

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22.

(1)、【问题感知】如图1，在四边形ABCD 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °, ∠ A + ∠ C = 180 °,$ ，且AD=CD，①请直接写出AB、BC、BD的数量关系：；
②证明： BD平分∠ABC；

(2)、【迁移应用】如图2，四边形 ABCD 中， ∠ABC=60°， ∠ADC=120°， BE⊥AD， AB=BC= $\sqrt{13}$ ， CD=1，计算 BE的长度；

(3)、【拓展研究】如图3，正方形ABCD中， E为BC边上一点，连接AE， F为AE边上一点，且 AF=BC，FG 垂直DF 交 AB于点G， EF=2， AG=5，直接写出正方形的边长.

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x	3.23	3.24	3.25	3.26
$a x^{2} + b x + c$	-0.04	-0.01	0.02	0.06