贵州省毕节市金沙县第四中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-08-01 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）

1. 近年来，纳雍箐苗的服饰和生活习俗倍受社会各界高度关注.一件箐苗服饰的洗涤温度 $t$ 不得高于40℃，则 $t$ 应满足的不等关系是（）

A、 $t < 40$ B、 $t > 40$ C、 $t ≤ 40$ D、 $t ≥ 40$

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2. 下列是某游戏中的各种元素的代表图案，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A + ∠ C = 140 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、140° B、120° C、110° D、100°

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4. 不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组可能是（）

A、 ${\begin{cases} x > - 1 \\ x ≤ 1 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x < - 1 \\ x ≥ 1 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} x ≥ - 1 \\ x < 1 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} x ≥ - 1 \\ x ≤ 1 \end{cases}$

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5. 一个多边形的内角和是900°，这个多边形是（）

A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、七边形

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、10 B、 $10 + 2 \sqrt{3}$ C、12 D、14

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7. 用反证法证明“若 $a > b$ ，则 $- 3 a < - 3 b$ ”时，应先假设（）

A、 $a ≤ b$ B、 $a \neq b$ C、 $- 3 a ≥ - 3 b$ D、 $- 3 a > - 3 b$

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8. “孔子周游列国”是流传很广的故事，有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是学生们步行的速度的1.5倍，且孔子和学生们同时到达该书院.设学生们步行的速度为 $x$ 公里/时，则可列方程为（）

A、 $\frac{15}{x} = \frac{15}{1.5 x} + 1$ B、 $\frac{15}{x} + 1 = \frac{15}{1.5 x}$ C、 $\frac{15}{x - 1} = \frac{15}{1.5 x}$ D、 $\frac{15}{x + 1} = \frac{15}{1.5 x}$

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9. 如图，线段 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ，且 $∠ B O D = 60 °$ ，连接 $A C$ ，分别将 $A B$ 和 $A C$ 平移到 $C C ′$ ， $B C ′$ 的位置.若 $A B = C D = a$ ，连接 $D C ′$ ，则 $D C ′$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2} a$ B、 $a$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ D、 $\sqrt{2} a$

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10. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，要在对角线 $B D$ 上找点 $E$ ， $F$ ，分别连接 $A E$ ， $C E$ ， $C F$ ， $A F$ ，使四边形 $A E C F$ 为平行四边形.现有甲、乙两种方案，下列说法正确的是（）
甲方案：只需要满足 $B F = D E$ ；
乙方案：只需要满足 $A E ∥ C F$ .

A、只有甲方案正确 B、只有乙方案正确 C、甲、乙方案都正确 D、甲、乙方案都不正确

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11. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： $x - 1$ ， $a - b$ ， 3， $x^{2} + 1$ ， $a$ ， $x + 1$ 分别对应下列六个字：州、我、爱、多、彩、贵，现将 $3 a (x^{2} - 1) - 3 b (x^{2} - 1)$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、爱我贵州 B、我爱彩州 C、爱贵州 D、我爱多

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12. 已知 $x + \frac{1}{x} = 3$ ，则分式 $\frac{x^{2}}{x^{4} - 2 x^{2} + 1}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13. 因式分解： $- x^{2} - 2 x - 1 =$ .

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14. 若不等式 $x > a$ 有且只有1个负整数解，则 $a$ 的取值范围是.

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15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 5 ， A C$ 的垂直平分线交 $A D$ 于点 $E$ ，则 $△ C D E$ 的周长是．

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16. 如图， $P$ 是等边三角形 $A B C$ 内一点，将线段 $P B$ 绕点 $B$ 沿顺时针方向旋转60°得到线段 $B P ′$ ，连接 $C P ′$ ， $P P ′$ .若 $P B = 3$ ， $P C = 4$ ， $P A = 5$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是.

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三、解答题（本大题共9小题，共98分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

(1)、解分式方程： $\frac{5 x}{x - 3} = 3 - \frac{15}{3 - x}$ ；

(2)、若 $A = 1 - 5 x$ ， $B = - 4 x$ ，且 $A - B < 0$ ，求 $x$ 的取值范围.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是边 $A C$ ， $B C$ 的中点，过点 $C$ 作 $C F ∥ A B$ ，且 $C F = \frac{1}{2} A B$ ，连接 $E F$ .求证： $C D = E F$ .

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19. $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1)、将 $△ A B C$ 先向下平移4个单位长度、再向右平移2个单位长度，作出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、作出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于点 $O$ 成中心对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

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20. 先化简： $\frac{m^{2} - 4 m}{m^{2}} \div (1 + \frac{16 - 8 m}{m^{2}})$ ，再从 $- 1$ ， 4，0中选择一个合适的数作为 $m$ 的值代入求值.

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21. 如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位 $A B C D$ 的边 $A D = B C = 6 m$ ，边 $A B = C D = 2.8 m$ ，且 $∠ A = 60 °$ .求这个四边形停车位的面积.

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $D E$ 平分 $∠ A D C$ .过点 $E$ 作 $E F ⊥ A D$ .垂足为 $F$ ，连接 $A E$ ， $B F$ .
求证：

(1)、 $A E$ 是 $∠ B A D$ 的平分线；

(2)、线段 $A E$ 垂直平分 $B F$ .

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23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.2万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的个数相等

(1)、A，B两种型号的充电桩的单价各是多少？

(2)、该停车场计划购买A，B两种型号的充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的个数不少于A型充电桩个数的 $\frac{2}{5}$ .该停车场有哪几种购买方案？

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24. 【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用.
例1：因式分解： $a^{2} + 6 a + 8$ .
解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1 = {(a + 3)}^{2} - 1 = (a + 3 - 1) (a + 3 + 1) = (a + 2) (a + 4)$ .
例2：若 $M = a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2$ ，利用配方法求 $M$ 的最小值
解： $a^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 2 b + 2 = a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b + 1 + 1 = {(a - b)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + 1$ .
∵ ${(a - b)}^{2} ≥ 0$ ， ${(b - 1)}^{2} ≥ 0$ ，
∴当 $a = b = 1$ 时， $M$ 有最小值1.
请根据上述阅读材料，解决下列问题：

(1)、用配方法因式分解： $a^{2} - 12 a + 35 =$ ；

(2)、若 $M = a^{2} - 3 a + 1$ ，则 $M$ 的最小值为；

(3)、已知 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - 2 a b + 4 b - 6 c + 13 = 0$ ，求 $a + b + c$ 的值.

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25. 在 $▱ A B C D$ 中，连接对角线 $A C$ ， $A F$ ， $C G$ 分别是 $∠ C A D$ ， $∠ A C D$ 的平分线， $A F$ ， $C G$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $B C$ 上一点，且 $∠ B A E = ∠ D C G$ .

(1)、如图1，若 $△ A C D$ 是等边三角形， $O C = 2$ ，求 $△ A C D$ 的面积；

(2)、如图2，若 $△ A C D$ 是等腰直角三角形，且 $∠ C A D = 90 °$ ，求证： $A C = C E + 2 O F$ .

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