广西壮族自治区防城港市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-09 类型：期末考试

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一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = {x ∣ | x - 1 | \leq 1}, B = {0, 1, 2, 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 4}$ D、 ${1, 4}$

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2. “ $\frac{1}{x} < 1$ ”是“ $x > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 一个宿舍的四名同学甲､乙､丙､丁受邀参加一个晚会且必须有人去，其中甲､乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍不同的参加晚会的方案共有（）

A、4 B、7 C、10 D、12

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4. 随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“ $6 \cdot 18$ ”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价 $x$ （单位：元）和销售量 $y$ （单位：百件）之间的一组数据：
$x$
20
25
30
35
40
$y$
5
7
8
9
11
用最小二乘法求得 $y$ 与 $x$ 之间的经验回归方程是 $\hat{y} = 0.28 x + \hat{a}$ ，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（）（单位：百件）

A、11.2 B、11.75 C、12 D、12.2

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5. 下列命题中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ C、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$

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6. 某体育器材厂生产一批足球，单个足球的质量Y（单位：克）服从正态分布 $N (400, 4)$ ，从这一批足球中随机抽检500个，则被抽检的足球的质量不小于396克的个数约为（）
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9544$

A、341 B、421 C、477 D、489

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7. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足：①对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立；② $f (- 1) = 0$ .则不等式 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x)$ 满足： $(x - 1) [f^{'} (x) - f (x)] > 0$ ， $f (2 - x) = f (x) e^{2 - 2 x}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $f (1) > e f (0)$ B、 $f (2) > e^{2} f (0)$ C、 $f (3) > e^{3} f (0)$ D、 $f (4) < e^{4} f (0)$

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二、多选题（每小题6分，共18分；三个正确选项的答对一个得2分，答对两个得4分，答对三个得6分：两个正确选项的答对一个得3分，答对两个得6分）

9. 下列说法中正确的是（）

A、若 $P (A) > 0, P (B) > 0$ ，则事件 $A, B$ 相互独立与事件 $A, B$ 互斥不能同时成立 B、一组数据 $4, 3 a, 3 - a, 5$ 的平均数为4，则 $a$ 的值为1 C、五位同学站成一排拍照，其中甲不能站在最左边的位置，则不同的排队方法有120种 D、若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，且 $P (X > 7) = P (X < - 3) = 0.1$ ，则 $P (- 3 < X < 2) = 0.4$

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a b \geq \frac{1}{4}$ B、 $\frac{4}{a} + \frac{9}{b} \geq 25$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ D、 $a^{2} < a + 3 b$

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11. 已知函数 $f (x) = x sin x$ ， $x \in R$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 为周期函数 C、在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上， $f (x)$ 有且只有一个极小值点 D、过 $(0, 0)$ 作 $y = f (x)$ 的切线有且仅有3条

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三、填空题（每小题5分，共15分）

12. 设 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2 x^{2} - x$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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13. 曲线 $f (x) = x^{3} - \ln x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与坐标轴围成的图形的面积为.

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14. 已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标次.

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四、解答题（共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）

15. 设集合 $A = \{x| - 1 < x < 6\}$ ， $B = \{x| a + 1 \leq x \leq 3 a - 1\}$ ；

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup B$

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求 $a$ 的取值范围.

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16. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下的列联表（单位：只）：
药物
疾病
合计
未患病
患病
未服用
50
40

服用

合计

75
200

(1)、请将上面的列联表补充完整；

(2)、依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为药物有效呢？从概率的角度解释得到的结论；

(3)、为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只作为样本，从该样本中随机抽取4只，设其中未服用药物的动物数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望.
附表及公式： $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$α$
0.15
0.10
0.05
0.025
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
5.024

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17. 已知二项式 ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，且其二项式系数之和为64．

(1)、求 $n$ 和 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 的值；

(2)、求 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n}$ ．

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18. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.3
0.5
0.2
球队胜率
0.8
0.6
0.7

(1)、当甲出场比赛时，求球队输球的概率；

(2)、当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；

(3)、如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = ln x + a x^{2} + 3 (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a = 0$ 时，若 $x f (x) > k x - k + 2$ 在 $x \in (1, + \infty)$ 时恒成立，求整数 $k$ 的最大值．

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药物	疾病		合计
药物	未患病	患病	合计
未服用	50	40
服用
合计		75	200

场上位置	边锋	前卫	中场
出场率	0.3	0.5	0.2
球队胜率	0.8	0.6	0.7

$x$	20	25	30	35	40
$y$	5	7	8	9	11

$α$	0.15	0.10	0.05	0.025
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	5.024