云南省曲靖市麒麟区2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-10 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 设 $z_{1} = 2 + i, z_{2} = 1 - 3 i$ ，则 $z_{1} + z_{2}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = \{x ∣ 4 \leq 2^{x} < 16\}, B = \{x ∣ 3 x - 7 \geq 8 - 2 x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 3 \leq x < 4}$ B、 $\{x ∣ x \geq 2\}$ C、 $\{x ∣ 3 \leq x \leq 4\}$ D、 ${x ∣ x > 2}$

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3. 已知 $α, β$ 表示两个不同的平面， $m$ 表示一条直线，且 $m$ $∥$ $α$ ，则“ $m ⊥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 是单位向量，且 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| =$ （）

A、3 B、5 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 在 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + {(1 + x)}^{5} + {(1 + x)}^{6} + {(1 + x)}^{7}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数是（）

A、57 B、56 C、36 D、35

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6. 已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 16$ ，直线 $l : m x + y - 3 m - 1 = 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(2, 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $C$ 相切 C、直线 $l$ 与圆 $C$ 相交 D、直线 $l$ 与圆 $C$ 相离

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7. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚硬币正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $P (A) = P (B)$ D、 $A$ 与 $B$ 相等

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8. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x + y) f (x - y) = f (x) + f (y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $y = f (x)$ 为奇函数 C、 $y = f (x)$ 不存在零点 D、 $f (2 x) = f (x)$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x - \frac{5 π}{12})$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12}, \frac{7 π}{12})$ 上单调递减

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10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（）

A、图（1）的平均数 $=$ 中位数 $=$ 众数 B、图（2）的众数<平均数<中位数 C、图（2）的众数<中位数<平均数 D、图（3）的中位数 $<$ 平均数 $<$ 众数

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的左支相交于 $P, Q$ 两点，若 $P Q ⊥ P F_{2}$ ，且 $4 |P Q| = 3 |P F_{2}|$ ，则（）

A、 $|P Q| = 4 a$ B、 $3 \vec{P F_{1}} = \vec{P Q}$ C、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3} x$ D、直线 $P Q$ 的斜率为4

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 求曲线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ 在点 $(\sqrt{3}, - \frac{1}{2})$ 处的切线的倾斜角为.

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13. 抛物线 $x^{2} = 8 y$ 上与焦点的距离等于3的点的坐标是.

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14. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足， $a_{3} = 256$ ，且 $a_{n} = 2 a_{n + 1}$ .若 $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积，求 $T_{n}$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算过程.

15. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $b sin (B + C) = a cos \frac{B}{2}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{2}, △ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16. 为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的50名学生，整理得到如下列联表：

男学生
女学生
合计
喜欢运动
8
4
12
不喜欢运动
2
36
38
合计
10
40
50

(1)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？

(2)、现从喜欢运动的学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量 $X$ 为男学生的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并求出 $f (x)$ 的极值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - a (a \in R)$ ，讨论函数 $g (x)$ 的零点个数.

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18. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 满足 $A B ⊥ A D,$ $A D / / B C$ ，平面 $S A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S A = A B = B C = 1, S B = \sqrt{2}, A D = \frac{1}{2}$ ，点 $E$ 是 $S C$ 的中点.

(1)、证明： $D E$ $∥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、求四棱锥 $S - A B C D$ 的体积；

(3)、求平面 $S C D$ 与平面 $S A B$ 所成角的正弦值.

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $M (- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A (0, 3)$ ，点 $G$ 为椭圆 $C$ 上一点，求 $△ A G F_{2}$ 周长的最大值；

(3)、过 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ ，且斜率不为零的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P ､ Q$ 两点，求 $△ F_{2} P Q$ 面积的最大值.

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	男学生	女学生	合计
喜欢运动	8	4	12
不喜欢运动	2	36	38
合计	10	40	50

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828