2016年江苏省高考数学模拟试卷

试卷更新日期：2016-09-30 类型：高考模拟

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一、填空题，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．

1. 已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x²﹣2x＜0}，则A∩（∁_UB）= ．

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2. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则z的共轭复数的模为．

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3. 分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．

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4. 运行如图所示的伪代码，其结果为．

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5. 在平面直角坐标系xOy中，与双曲线 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 有相同渐近线，且一条准线方程为 $y = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ 的双曲线的标准方程为．

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6. 已知存在实数a，使得关于x的不等式 $\sqrt{x} - \sqrt{4 - x} \geq a$ 恒成立，则a的最大值为．

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7. 若函数 $f (x) = a \sin (x + \frac{π}{4}) + \sqrt{3} \sin (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数，则实数a的值为．

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8. 已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 9 ， x \geq 3 \\ - x^{2} + 6 x ， x < 3 \end{matrix}$ ，则不等式f（x²﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．

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10. 在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．

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11. 设不等式组 ${\begin{matrix} x - y + 2 \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ y - 2 \geq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域为D，若指数函数y=a^x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．

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12. 已知函数f（x）=x²+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．

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13. 若函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 2 ， g (x) = a (x - a + 3)$ 同时满足以下两个条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．
则实数a的取值范围为．

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14. 若b_m为数列{2ⁿ}中不超过Am³（m∈N^*）的项数，2b₂=b₁+b₅且b₃=10，则正整数A的值为．

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二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．

15. 已知角α终边逆时针旋转 $\frac{π}{6}$ 与单位圆交于点 $(\frac{3 \sqrt{10}}{10} ， \frac{\sqrt{10}}{10})$ ，且 $\tan (α + β) = \frac{2}{5}$ ．

(1)、求 $\sin (2 α + \frac{π}{6})$ 的值，

(2)、求 $\tan (2 β - \frac{π}{3})$ 的值．

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16. 在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角．

(1)、若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；

(2)、若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．

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17. 在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为- $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；

(2)、过 $F (\sqrt{2} ， 0)$ 的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．

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18. 将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．

(1)、求V关于α的函数关系式；

(2)、当α为何值时，V取得最大值；

(3)、容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．

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19. 设首项为1的正项数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S_n+1﹣3S_n=1．

(1)、求证：数列{a_n}为等比数列；

(2)、数列{a_n}是否存在一项a_k ，使得a_k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N^* ， r≥2）项的和？请说明理由；

(3)、设 $b_{n} = \frac{n}{a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b₁ ， b_p ， b_q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．

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20. 解答

(1)、若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、证明：∀a＞0，∃x₀∈R，使得当x＞x₀时，ax＞lnx恒成立．

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三、数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）

21. 如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．

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22. 已知矩阵A= $[\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ ，B= $[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 6 \end{matrix}]$ ，求矩阵A^﹣¹B．

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23. 在极坐标系中，设直线l过点 $A (\sqrt{3} ， \frac{2 π}{3}) ， B (3 ， \frac{π}{2})$ ，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．

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24. 求函数 $y = \sqrt{x - 5} + \sqrt{7 - x}$ 的最大值．

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四、[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

25. 在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．

(1)、求异面直线PC与BD所成角的余弦值；

(2)、求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．

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26. 设数列{a_n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a₁ ，第二层两个数a₂和a₃ ，第三层三个数a₄ ， a₅和a₆ ，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a₁=a₂+a₃ ， a₂=a₄+a₅ ， a₃=a₅+a₆ ， …．

(1)、若第四层四个数为0或1，a₁为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？

(2)、若第十一层十一个数为0或1，a₁为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？

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