四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期6月期末校际联考数学试题

试卷更新日期：2024-07-10 类型：期末考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 已知函数 $f (x) = s i n x + 4 x, 则 \underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (π + Δ x) - f (π)}{2 Δ x}$ （）

A、12 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、6

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2. 某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（）

A、120种 B、240种 C、216种 D、256种

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3. $C_{8}^{0} + C_{8}^{2} + C_{8}^{4} + C_{8}^{6} + C_{8}^{8} =$ （）

A、36 B、64 C、128 D、256

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4. 已知随机变量 $X ~ N (2, σ^{2}), P (X \leq 0) = 0.15$ ，则 $P (2 \leq X \leq 4)$ 等于（）

A、 $0.85$ B、 $0.15$ C、 $0.35$ D、 $0.30$

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5. $(1 + 2 x^{5}) {(1 - \frac{1}{x})}^{7}$ 展开式的常数项为（）

A、 $- 42$ B、 $- 41$ C、42 D、43

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6. 根据分类变量 $x$ 与 $y$ 的观察数据，计算得到 $K^{2} = 2.974$ ，依据下表给出的 $K^{2}$ 独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（）
$P (K^{2} \geq k)$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

A、有95%的把握认为变量 $x$ 与 $y$ 独立 B、有95%的把握认为变量 $x$ 与 $y$ 不独立 C、变量 $x$ 与 $y$ 独立，这个结论犯错误的概率不超过10% D、变量 $x$ 与 $y$ 不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%

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7. 已知随机变量 $X_{i} (i = 1, 2)$ 的分布列如表所示：
$X_{i}$
0
$\frac{1}{3} + p_{i}$
$1 + p_{i}$
p
$\frac{1}{3}$
$p_{i}$
$\frac{2}{3} - p_{i}$
其中 $0 < p_{i} < \frac{2}{3}$ ，若 $p_{1} < p_{2}$ ，且 $p_{1} + p_{2} = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) = D (X_{2})$ B、 $E (X_{1}) > E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ C、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ D、 $E (X_{1}) < E (X_{2}), D (X_{1}) < D (X_{2})$

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8. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (0) = 2$ ， $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) + f^{'} (x) > 1$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) > e^{- x} + 1$ 的解集为（）

A、 $\{x |x > 1\}$ B、 $\{x |x > e\}$ C、 $\{x |x < 0\}$ D、 $\{x |x > 0\}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列有关回归分析的结论中，正确的是（）

A、若回归方程为 $\hat{y} = 6 - 2.5 x$ ，则变量y与x负相关 B、运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、若线性相关系数 $|r|$ 越小，说明两个变量之间的线性相关性越强 D、若散点图中所有点都在直线 $y = 0.92 x - 4.21$ ，则相关系数 $r = 0.92$

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10. 一枚质地均匀的正方体骰子，其中1点和4点所在面为红色，其余各面均为黑色．将这枚骰子抛掷两次，记事件 $A =$ “向上一面的颜色均是红色”， $B =$ “向上一面的颜色不相同”， $C =$ “向上一面的点数之和为5”， $D =$ “向上一面的点数之和为奇数”，则（）

A、事件A与事件C相互独立 B、事件B与事件D相互独立 C、 $P (C | A) = P (D | B)$ D、 $P (C | \bar{A}) = P (D | \bar{B})$

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11. 对于函数 $f (x) = \frac{l n x}{x^{3}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt[3]{e}$ 处取得极大值为 $\frac{1}{3 e}$ B、 $f (x)$ 有两个不同的零点 C、 $f (\sqrt[3]{2}) < f (\sqrt[3]{π}) < f (\sqrt[3]{3})$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{3}}$ 在区间 $(0, + ∞)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e^{2}}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 以曲线 $Y = c e^{k X}$ 拟合一组数据时，经 $Z = ln Y$ 代换后的线性回归方程为 $Z = 3 X + 5$ ，则 $c =$ ．

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13. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字 $1 ､ 2 ､ 3 ､ 4$ ，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是.

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14. 设函数 $f (x) = x e^{x}$ 若对任意 $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，存在 $x_{1} \in (0, + \infty)$ 不等式 $\frac{f (x_{1})}{x_{1}^{2}} \cdot \frac{f (x_{2})}{e^{x_{2}}} \leq \frac{2 k}{k + 1} [{(x_{2})}^{2} + 1]$ 恒成立，则正数 $k$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 用二项式定理展开 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{12}$ ，

(1)、求展开式中的常数项；

(2)、求展开式中系数最大的项．

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16. 袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.

(1)、若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；

(2)、若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.

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17. 随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份编号 $x$
1
2
3
4
5
6
销售金额 $y$ /万元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
若 $y$ 与 $x$ 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：

(1)、试求变量 $y$ 与 $x$ 的样本相关系数 $r$ （结果精确到0.01）；

(2)、试求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（ $\hat{b}, \hat{a}$ ，均保留一位小数）
附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x},$ ，
样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}$
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 2463.4, \sqrt{\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 20 \sqrt{70}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x + a) e^{x}, a \in R$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x \in [0, 3]$ 上的最大值和最小值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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19. 对于无穷数列 $\{c_{n}\}$ ，若对任意 $m, n \in N^{*}$ ，且 $m \neq n$ ，存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $c_{m} + c_{n} = c_{k}$ 成立，则称 $\{c_{n}\}$ 为“ $G$ 数列”.

(1)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} = 2 n$ ，试判断数列 $\{b_{n}\}$ 是否为“ $G$ 数列”，并说明理由；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，
①若 $\{a_{n}\}$ 是“ $G$ 数列”， $a_{1} = 8, a_{2} \in N^{*}$ ，且 $a_{2} > a_{1}$ ，求 $a_{2}$ 所有可能的取值；
②若对任意 $n \in N^{*}$ ，存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} = S_{n}$ 成立，求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $G$ 数列”.

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$P (K^{2} \geq k)$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$X_{i}$	0	$\frac{1}{3} + p_{i}$	$1 + p_{i}$
p	$\frac{1}{3}$	$p_{i}$	$\frac{2}{3} - p_{i}$

年月	2023年8月	2023年9月	2023年10月	2023年11月	2023年12月	2024年1月
月份编号 $x$	1	2	3	4	5	6
销售金额 $y$ /万元	15.4	25.4	35.4	85.4	155.4	195.4