湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-07-15 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）

1. 设 $x \in R$ ，则“ $x > 3$ ”是“ $|x| > 2$ ”的（）

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $(2, 1), (1, - 2)$ ，则复数 $z_{1} \cdot {\bar{z}}_{2} =$ （）

A、 $5 i$ B、 $- 5 i$ C、 $4 + 5 i$ D、 $- 4 + 5 i$

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3. $\frac{\sqrt{3}}{cos 190^{\circ}} + \frac{1}{sin 170^{\circ}} =$ （）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 2$ D、2

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4. 已知 $P$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一动点， $F_{1} ､ F_{2}$ 分别为其左右焦点，直线 $P F_{1}$ 与 $C$ 的另一交点为 $A, △ A P F_{2}$ 的周长为16.若 $P F_{1}$ 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 若 $n$ 为一组数 $8, 2, 4, 9, 3, 10$ 的第六十百分位数，则二项式 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式的常数项是（）

A、28 B、56 C、36 D、40

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6. 三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（）

A、360种 B、540种 C、720种 D、900种

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} - b x + c (b > 0, c > 0)$ 的两个零点分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $x_{1}, x_{2}, - 2$ 三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式 $\frac{x - b}{x - c} \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 4] \cup (5, + \infty)$ B、 $[4, 5]$ C、 $(- \infty, 4) \cup [5, + \infty)$ D、 $(4, 5]$

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8. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导数 $f^{'} (x), \forall x \in R$ ，有 $f (- x) + f (x) = x^{2}$ ，在 $(0, + \infty)$ 上 $f^{'} (x) < x$ ，若 $f (3 - 2 m) - f (2 m) \geq \frac{9}{2} - 6 m$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{4}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{3}{4}, + \infty)$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为 $2, M$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，动点 $P$ 在正方形 $A B C D$ 内（包含边界）运动，且 $M P = \sqrt{5}$ .下列结论正确的是（）

A、动点 $P$ 的轨迹长度为 $π$ ； B、异面直线 $M P$ 与 $B B_{1}$ 所成角的正切值为2； C、 $\vec{M P} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为2； D、三棱锥 $P - M A D$ 的外接球表面积为 $\frac{25 π}{4}$ .

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10. 已知定义域在R上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x + 1)$ 是奇函数，且 $f (- 1 + x) = f (- 1 - x)$ ，当 $x \in [- 1, 1]$ ， $f (x) = x^{2} - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期 $T = 4$ B、 $f (\frac{5}{2}) = \frac{3}{4}$ C、 $f (x)$ 在 $[- 5, - 4]$ 上单调递增 D、 $f (x + 2)$ 是偶函数

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11. 锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边为 $a, b, c$ .且满足 $a = 4, b = c + 2$ .下列结论正确的是（）

A、点 $A$ 的轨迹的离心率 $e = \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7} < c < 3$ C、 $△ A B C$ 的外接圆周长 $l \in (4 π, 5 π)$ D、 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} \in (3, 6)$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. 若直线 $l$ ： $k x - y + 2 - 2 k = 0$ 与曲线 $C$ ： $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = n (n + 1)$ ．若 $b_{n} = \frac{n}{(n + 1) a_{n}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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14. 暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹．已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的．如图，已知该座山的底面半径 $R = 2 (km)$ ，高 $h = 4 \sqrt{2} (km)$ ，则盘山步道的长度为，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分）

15. 在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a ， b$ ， $c$ ，且满足 $c sin A cos B = b sin C (1 + cos A)$ .

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、求 $\frac{c}{a}$ 的取值范围.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = A D = 2, E$ 为线段 $P D$ 的中点， $F$ 为线段 $P C$ （不含端点）上的动点.

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、是否存在点 $F$ ，使二面角 $P - A F - E$ 的大小为 $45^{\circ}$ ？若存在，求出 $\frac{P F}{P C}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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17. 已知函数 $f (x) = 2 a x + cos x - e^{x}, a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 0$ 时，求证 $f (x) < 1$ 在 $x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上恒成立.

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18. 已知 $A (2, a)$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 上一点， $F$ 是抛物线的焦点，已知 $|A F| = 4$ ，

(1)、求抛物线的方程及 $a$ 的值；

(2)、当 $A$ 在第一象限时， $O$ 为坐标原点， $B$ 是抛物线上一点，且 $△ A O B$ 的面积为1，求点 $B$ 的坐标；

(3)、满足第（2）问的条件下的点中，设平行于 $O A$ 的两个点分别记为 $B_{1}, B_{2}$ ，问抛物线的准线上是否存在一点 $P$ 使得， $P B_{1} ⊥ P B_{2}$ .

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19. 材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p$ ，试验进行到事件 $A$ 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为 $ξ$ ，其分布列为 $P (ξ = k) = {(1 - p)}^{k - 1} \cdot p (k = 1, 2, 3, \dots)$ ，我们称 $ξ$ 服从几何分布，记为 $ξ \sim G E (p)$ .
材料二：求无穷数列的所有项的和，如求 $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{k - 1}}$ ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前 $n$ 项和 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2^{k - 1}} = 2 (1 - \frac{1}{2^{n}})$ ，再求 $n \to \infty$ 时 $S_{n}$ 的极限： $S = \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} 2 (1 - \frac{1}{2^{n}}) = 2$
根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量 $X$ .

(1)、证明： $\sum_{k = 1}^{\infty} P (X = k) = 1$ ；

(2)、求随机变量 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；

(3)、求随机变量 $X$ 的方差 $D (X)$ .

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