【提升版】北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程章节测试卷

试卷更新日期：2024-07-28 类型：单元试卷

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一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）

1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）

A、2x²﹣3y﹣5=0 B、x²=2x C、 $\frac{1}{x}$ +4=x² D、y²﹣ $\sqrt{2 y}$ ﹣3=0

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2. 用配方法解方程 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，配方后所得的方程是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = - 4$ B、 ${(x - 3)}^{2} = - 4$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 4$

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3. 若关于x的一元二次方程 $(k + 2) x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则实数k的取值范围是（）

A、 $k > 3$ B、 $k \geq - 3$ C、 $k > - 3$ 且 $k \neq - 2$ D、 $k \geq - 3$ 且 $k \neq - 2$

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4. 一元二次方程x²﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）

A、（x+4）²=17 B、（x﹣4）²=17 C、（x+4）²=15 D、（x﹣4）²=15

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5. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（　　）

A、16（1﹣x）²＝9 B、16（1﹣x²）＝9 C、9（1﹣x）²＝16 D、9（1+x²）＝16

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6. 已知 $α$ ， $β$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 3) x + m^{2} = 0$ 的两个不相等的实数根，且满足 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = - 1$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $3$ B、 $1$ C、 $3$ 或 $- 1$ D、 $- 3$ 或 $1$

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二、填空题（每题3分，共15分）

7. 已知（m﹣1）x^|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=

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8. 设 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} + x - 2024 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 2 a + b$ 的值为.

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9. 某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．

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10. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 $28$ 场比赛，比赛组织者应邀请个队参赛．

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三、解答题（每题73分，共61分）

11. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了 $33 m$ 的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙 $($ 墙长 $15 m)$ 围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场 $($ 如图所示 $)$ ．

(1)、若要建的矩形养鸡场面积为 $90 m^{2}$ ，求鸡场的长 $(A B)$ 和宽 $(B C)$ ；

(2)、该扶贫单位想要建一个 $100 m^{2}$ 的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．

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12. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (a - 1) x + a^{2} - a - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求a的取值范围；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 16$ ，求a的值．

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13. 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．
例如：求代数式 $2 x^{2} + 4 x + 5$ 的最值．
解： $2 x^{2} + 4 x + 5$
$= (2 x^{2} + 4 x) + 5$ （分离常数项）
$= 2 (x^{2} + 2 x) + 5$ （提二次项系数）
$\begin{array}{l} = 2 (x^{2} + 2 x + 1 - 1) + 5 \\ = 2 [(x + 1)^{2} - 1] + 5 \\ = 2 (x + 1)^{2} + 3 \end{array}} (配方)$
$∵ 2 (x + 1)^{2} \geq 0$
$∴ 2 (x + 1)^{2} + 3 \geq 3$
$∴$ 当 $x = - 1$ 时，代数式 $2 x^{2} + 4 x + 5$ 取得最小值是3
运用以上方法，解答下列问题：

(1)、求代数式 $- a^{2} + 6 a - 4$ 的最值；

(2)、关于 $x$ 的方程 $m x^{2} - 3 (m + 2) x + 2 m + 7 = 0 (m \neq 0)$ ．求证：无论 $m$ 取何值，方程总有两个不相等的实数根．

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14. 阅读材料：
材料1：如图，是由四个长为 $a$ ，宽为 $b$ 的长方形拼摆而成的正方形，其中 $a > b > 0$ ，则根据图形可以得到等式 ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$ ．
材料2：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料3：已知实数 $m, n$ 满足 $m^{2} - m - 1 = 0, n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则 $m, n$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根．
根据上述材料解决以下问题：

(1)、材料理解：一元二次方程 $4 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ 两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ______， $x_{1} x_{2} =$ _____．

(2)、应用探究：一元二次方程 $4 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ 两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} - x_{2} =$ _______．

(3)、思维拓展：已知实数 $s 、 t$ 分别满足 $9 s^{2} + 9 s + 1 = 0$ ， $t^{2} + 9 t + 9 = 0$ ，其中 $s t \neq 1$ 且 $s t \neq 0$ ，求 $\frac{3 s t + 9 s + 3}{t}$ 的值．

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15. 春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元．

(1)、每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利元，可售出棉衣件（用含x的代数式表示）

(2)、若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值．

(3)、当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $P$ 从 $A$ 点出发沿 $A B$ 边向 $B$ 以 $1 c m / s$ 的速度移动，点 $Q$ 从 $B$ 点出发沿 $B C$ 向 $C$ 点以 $2 c m / s$ 的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：

(1)、经过多少时间， $△ P B Q$ 的面积是 $5 c m^{2}$ ，此时， $P Q$ 长为多少 $c m$ ．

(2)、探究：是否存在某一时刻 $t$ ，使 $S_{四边形 A P Q C} = \frac{5}{12} S_{△ A B C}$ ，如果存在，求出 $t$ 的值；如果不存在，请说明理由．

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一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（每题73分，共61分）

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