浙江省宁波市北仑区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-07-09 类型：期末考试

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一、选择题 (每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1. 以下图标中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 六边形的外角和为（）

A、180° B、360° C、540° D、720°

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3. 若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(- \frac{3}{4}, \frac{4}{3})$ ，则下列四个点中，也在此函数图象上的是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(1, 1)$ C、 $(2, 0.5)$ D、 $(- 2, 1)$

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4. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{(- 2)^{2}} = - 2$ B、 $\sqrt{(- 2) \times (- 3)} = \sqrt{- 2} \times \sqrt{- 3}$ C、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$

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5. 学校现有甲，乙，丙，丁四支篮球队，每支球队队员身高数据的平均数都为 $1.78$ 米，方差分别为 $S_{甲}^{2} = 1.3$ ， $S_{Z}^{2} = 0.7 ， S_{丙}^{2} = 2.5 ， S_{T}^{2} = 0.3$ ，则身高最整齐的球队为（）

A、甲队 B、乙队 C、丙队 D、丁队

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6. 用反证法证明，“在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 对边是 $a$ 、 $b$ ．若 $∠ A < ∠ B$ ，则 $a < b$ ． ”第一步应假设（）

A、 $a > b$ B、 $a = b$ C、 $a \geq b$ D、 $a \leq b$

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7. 抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 上部分点的横坐标 $x$ ，纵坐标 $y$ 的对应值如下表所示∶
$x$
．．．
$- 2$
$- 1$
0
1
2
．．．
$y$
$\dots$
0
4
6
6
4
$\dots$
从上表可知，下列说法中，错误的是（）

A、抛物线与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(- 2 ， 0)$ B、抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0 ， 6)$ C、抛物线的对称轴是直线 $x = \frac{1}{2}$ D、抛物线在对称轴左侧部分 $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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8. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一．其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？” 其大意为∶ “一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？” (备注∶ 1丈 $=$ 10尺) 如果设折断后的竹子高度为 $x$ 尺，根据题意，可列方程为（）

A、 $x^{2} + 4^{2} = {(10 - x)}^{2}$ B、 ${(10 - x)}^{2} + 4^{2} = x^{2}$ C、 $x^{2} + {(10 - x)}^{2} = 4^{2}$ D、 $x (10 - x) = 4^{2}$

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9. 如图，已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点 $D$ 是 $B C$ 延长线上的一点， $B D = 16$ ，点 $E$ 是 $A C$ 上一点， $A E = 8$ ，连接 $D E ， M 、 N$ 分别是 $A B 、 D E$ 的中点，则 $M N$ 的长为（）

A、8 B、12 C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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10. 将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 $A B C D$ ，记 $△ A E D$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $E F C G$ 的面积为 $S_{2}$ ．若 $E G ∥ C F$ ， $E G = 4, \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{6}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分)

11. 若关于 $a$ 代数式 $\sqrt{a - 6}$ 在实数范围内有意义，则实数 $a$ 的取值范围是．

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12. 将 $y = 2 x^{2} + 1$ 的图象先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，则最终所得图象的函数表达式为．

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13. 计算 $（ 3 + \sqrt{10}) (3 - \sqrt{10})$ =

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14. 如图，平行四边形ABCD的邻边AD：AB=5：4，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，AE=2cm，则AF=cm．

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15. 若实数 $a ， b$ 满足 $2 a^{2} - 5 a = 2 b^{2} - 5 b = 3$ ，且 $a \neq b$ ，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 的中点与坐标原点重合，点 $E$ 是 $x$ 轴上一点，连接 $A E$ 、 $B E$ ，若 $A D$ 平分 $∠ O A E$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0, x < 0)$ 的图象经过 $A E$ 上的点 $A$ 、 $F$ ，且 $A F = E F$ ， $△ A B E$ 的面积为12，则 $k$ 的值为．

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三、解答题 (本大题有 8 小题，共 72 分)

17. 小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的∶
解方程∶ $x^{2} - 6 x + 5 = 0$
$x^{2} - 5 x - x + 5 = 0$
$x^{2} - 5 x = x - 5$
$(x - 5) x = x - 5$
$∴ x - 5 = 0$
$∴ x = 5$

(1)、小明的解法从第步开始出现错误；

(2)、请用适当方法给出正确的解答．

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18. 2024 年 4 月 25 日 20 时 49 分，神舟十八号载人飞船发射成功，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．某中学为了解本校学生对我国航天科技及空间站的知晓情况，开展了 “航天梦科普知识” 竞赛活动，满分 10 分，学生得分均为整数．在初赛中，甲乙两组 (每组 10 人) 学生成绩如∶ (单位∶ 分)
甲组∶ $5 ， 6 ， 6 ， 6 ， 6 ， 6 ， 7 ， 7 ， 9 ， 10$ ．
乙组∶ $3 ， 6 ， 6 ， 6 ， 7 ， 7 ， 8 ， 8 ， 9 ， 9$ ．
组别
平均数
中位数
众数
甲组
$a$
$b$
6
乙组
6.9
7
$c$

(1)、以上成绩统计分析表中a= ， b= ， c= ；

(2)、小明同学说：“这次竞赛我得了 7 分，在我们小组中属中游偏上！ ” 观察上面表格判断，小明可能是组的学生．

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19. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点O， $B E ∥ A C$ ， $C E ∥ B D$ ．

(1)、求证：四边形 $O B E C$ 是矩形；

(2)、若 $A B = 4 ， ∠ A B C : ∠ B A D = 1 : 2$ ，求四边形 $O B E C$ 的周长．

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20. 某商场销售一批运动服，平均每天可售出 30 套，每套盈利 100 元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每套运动服每降价 2 元，商场平均每天可多售出 1 套．

(1)、当每套运动服降价 $x$ ( $x$ 是偶数) 元时，商场每天可售出运动服套 (用含 $x$ 的代数式表示)；

(2)、若商场每天要盈利 3150 元，则每套运动服应降价多少元？

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21. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A (1, 2 n)$ 和点 $B (3 n - 6, 2)$ ．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、连结 $O A, O B$ ，求 $△ A O B$ 的面积；

(3)、根据图象，直接写出不等式 $k x + b < \frac{m}{x}$ 的解集．

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22. 根据以下素材，探索完成任务．

喷泉中的数学问题
素材 1	某游乐场的圆形喷水池中心 $O$ 有一喷水管 $O A$ ， $O A = 0.5$ 米，从 $A$ 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为 $\dot{x}$ 轴，点 $O$ 为原点建立平面直角坐标系，点 $A$ 在 $y$ 轴上，已知在与池中心 $O$ 点水平距离为 2 米时，水柱达到最高，此时高度为 1.5 米．
素材 2	现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离 5 米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点 2 米处达到最高．
问题解决
任务 1	确定水柱形状	根据素材 1 ，求水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式．
任务 2	探究喷水高度	改建前，身高为 1.67 米的小明站在距离喷水管3米处，他会被喷到吗？
任务 3	确定设计方案	根据素材 2，喷水管 $O A$ 要升高多少？

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23. 操作与证明：
如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；
结论：DM、MN的关系是：；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

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24. 如图 $1$ ，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{2} ∶ y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与直线 $l_{1} ∶ y = k x + b$ 交于点 $C ， C$ 点到 $x$ 轴的距离 $C D$ 为 $2 \sqrt{3}$ ，直线 $l_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $A ， ∠ C A B = 60^{\circ}$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 的函数表达式；

(2)、如图 $2$ ，点 $P$ 为线段 $A B$ 上一点，将 $△ A C P$ 沿 $C P$ 折叠后，点 $A$ 恰好落在 $B C$ 边上，求 $P$ 点坐标；

(3)、如图 $3$ ，将 $△ A C B$ 绕点 $B$ 逆时针方向旋转 $60^{\circ}$ ，得到 $△ B G H$ ，使点 $A$ 与点 $H$ 对应，点 $C$ 与点 $G$ 对应，将 $△ B G H$ 沿着直线 $B C$ 平移，点 $M$ 为直线 $A C$ 上的动点，是否存在以 $C 、 O 、 M 、 G$ 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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$x$	．．．	$- 2$	$- 1$	0	1	2	．．．
$y$	$\dots$	0	4	6	6	4	$\dots$

组别	平均数	中位数	众数
甲组	$a$	$b$	6
乙组	6.9	7	$c$

浙江省宁波市北仑区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

一、选择题 (每小题 3 分， 共 30 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求)

二、填空题 (每小题 3 分， 共 18 分)

三、解答题 (本大题有 8 小题， 共 72 分)

一、选择题 (每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分)

三、解答题 (本大题有 8 小题，共 72 分)