江西省上饶市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试卷

试卷更新日期：2024-07-16 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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2. $△ A B C$ 是边长为1的正三角形，那么 $△ A B C$ 的斜二测平面直观图 $△ A' B' C'$ 的面积（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{16}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, cos θ), \vec{b} = (2, sin θ)$ ，若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 已知 $m, n$ 是空间中两条不同的直线， $α, β$ 为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m \subset α, n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊄ α, m ⊥ β$ ，则 $m / / α$ D、若 $α \cap β = m, n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ α$

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5. 向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{a}$ 与非零向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影数量为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $- \sqrt{3}$

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6. 已知 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则（）

A、 $\vec{B G} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{B G} = - \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{B G} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{B G} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

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7. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）

A、 $a = 8$ ， $b = 16$ ， $A = 30 °$ ，有两解 B、 $b = 18$ ， $c = 20$ ， $B = 60 °$ ，有一解 C、 $a = 30$ ， $b = 25$ ， $A = 150 °$ ，有一解 D、 $a = 5$ ， $c = 2$ ， $A = 90 °$ ，无解

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8. 若函数 $f (x) = a sin ω x + cos ω x$ 的对称轴方程为 $x = k π + \frac{π}{4}$ ， $k \in Z$ ，则 $f (\frac{ω}{4} π) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题（本题共3小硕，每小题6分，共18分.在每小䝠给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 若复数 $z_{1}, z_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ 的两根，则（）

A、 $z_{1}, z_{2}$ 虚部不同 B、 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内所对应的点关于实轴对称 C、 $|z_{1}| = \sqrt{5}$ D、 $\frac{z_{1} + z_{2}}{2 - i}$ 在复平面内所对应的点位于第三象限

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10. 关于函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3}) + 1$ ，下列结论正确的是（）

A、 $(\frac{π}{6}, 0)$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心 B、函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 图像可由函数 $g (x) = 2 cos 2 x + 1$ 的图像向右平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位得到 D、若方程 $2 f (x) - m = 0$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 上有两个不相等的实根，则 $m \in [2 \sqrt{3} + 2, 6]$

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11. 如图，若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $E, F, E F = \sqrt{2}$ .则下列结论正确的是（）

A、直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、当 $E$ 与 $D_{1}$ 重合时，异面直线 $A E$ 与 $B F$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ C、平面 $C_{1} B D$ $∥$ 平面 $A E F$ D、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $A E F$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若 $tan θ = 2$ ，则 $sin θ (cos θ - sin θ) =$ .

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13. 设 ${\vec{e}}_{1}$ 与 ${\vec{e}}_{2}$ 是两个不共线向量， $\overset{⃑}{A B} = 3 {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}$ ， $\overset{⃑}{C B} = k {\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}$ ， $\overset{⃑}{C D} = 3 {\vec{e}}_{1} - 2 k {\vec{e}}_{2}$ .若A，B，D三点共线，则 $k$ 的值为．

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14. $△ A B C$ 中， $A B = A C = 8$ ，延长线段 $A B$ 至 $D$ ，使得 $∠ A = 2 ∠ D$ ，则 $B D + B C$ 的最大值为.

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四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 已知 $\vec{a} = (2, m), \vec{b} = (3 - m, - 5), (m \in R)$

(1)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，求实数 $m$ 的值.

(2)、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $m$ 的范围.

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16. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ 的部分图像如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及对称中心；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ 上的值域.

(3)、先将 $f (x)$ 的图像纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到 $g (x)$ 的图像，求函数 $y = g (x)$ 在 $x \in [- \frac{π}{2}, π]$ 上的单调减区间.

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17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $2 b \cos C + c = 2 a$ ．

(1)、求角B；

(2)、若D为AC的中点，且 $B D = \frac{5}{2}$ ， b＝3，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图1，四边形ABCD为菱形， $∠ A B C = 60 °, △ P A B$ 是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将 $△ P A B$ 沿AB边折起，使 $P C = 3$ ，连接PD ，如图2，

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求异面直线BD与PC所成角的余弦值；

(3)、在线段PD上是否存在点N ，使得 $P B$ ∥平面MCN﹖若存在，请求出 $\frac{P N}{P D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 我们把由平面内夹角成 $60 °$ 的两条数轴 $O x$ ， $O y$ 构成的坐标系，称为“创新坐标系”.如图所示， ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 分别为 $O x$ ， $O y$ 正方向上的单位向量.若向量 $\vec{O P} = x {\vec{e}}_{1} + y {\vec{e}}_{2}$ ，则称有序实数对 $\{x, y\}$ 为向量 $\vec{O P}$ 的“创新坐标”，可记作 $\vec{O P} = \{x, y\}$ .

(1)、已知 $\vec{a} = \{1, 1\}$ ， $\vec{b} = \{2, 3\}$ ， $\vec{c} = \{- 1, 2\}$ ，设 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，求 $x + y$ 的值.

(2)、已知 $\vec{a} = \{x_{1}, y_{1}\}$ ， $\vec{b} = \{x_{2}, y_{2}\}$ ，求证： $\vec{a} // \vec{b}$ 的充要条件是 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$ .

(3)、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的“创新坐标”分别为 $\{sin x, 1\}$ ， $\{cos x, 1\}$ ，已知 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $x \in R$ 求函数 $f (x)$ 的最小值.

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