广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试卷

试卷更新日期：2024-07-19 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 过 $(- 2, 0)$ 和 $(0, 2)$ 两点的直线的斜率是（　　）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 用最小二乘法得到一组数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 2 x + 3$ ，若 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 30$ ，则 $\sum_{i = 1}^{6} y_{i} =$ （）

A、11 B、13 C、63 D、78

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3. 若圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - 4 a)}^{2} = 4$ 被直线 $l : 3 x - y + 2 = 0$ 平分，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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4. 函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像如图所示，以下命题正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线的斜率大于0 B、 $f (- 1)$ 是函数的极值 C、 $y = f (x)$ 在区间 $(- 3, 1)$ 上不单调 D、 $f (- 1)$ 是函数的最小值

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5. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下 $2 \times 2$ 列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（）

喜欢课外阅读
不喜欢课外阅读
合计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
合计
20
30
50
参考数据及公式如下： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
10.828

A、不能根据小概率的 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者有关 B、根据小概率的 $α = 0.01$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者有关 C、根据小概率的 $α = 0.001$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者有关 D、根据小概率的 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验认为两者无关

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6. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（）

A、20 B、25 C、225 D、450

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7. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 2, ∠ A P B = 90^{\circ}, ∠ B P C = ∠ A P C = 60^{\circ}, M$ 为 $B C$ 的中点， $Q$ 为 $A M$ 的中点，则线段 $P Q$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设 ${a_{n}}$ 是由正数组成的等方差数列，且方公差为2， $a_{5} = 3$ ，则数列 ${\frac{2}{a_{n} + a_{n + 1}}}$ 的前24项和为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、3 C、 $3 \sqrt{2}$ D、6

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} + a_{3} = 5, a_{4} + a_{6} = 135$ ，则（）

A、 $a_{1} = \frac{1}{4}$ B、 $q = 3$ C、 $a_{n} = \frac{1}{4} \times 3^{n - 1}$ D、 $S_{n} = \frac{1}{4} (3^{n} - 1)$

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10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A_{1}) = \frac{3}{4}$ B、 $P (B |A_{2}) = \frac{1}{4}$ C、 $P (A_{1} B) = \frac{9}{16}$ D、 $P (A_{2} |B) = \frac{2}{11}$

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是线段 $A D_{1}$ 上的点，点E是线段 $C C_{1}$ 上的一点，则下列说法正确的是（）

A、存在点E，使得 $A_{1} E ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ B、当点E为线段 $C C_{1}$ 的中点时，点 $B_{1}$ 到平面 $A E D_{1}$ 的距离为2 C、点E到直线 $B D_{1}$ 的距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、当点E为棱 $C C_{1}$ 的中点，存在点 $P$ ，使得平面 $P B D$ 与平面 $E B D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.

12. ${(x - \frac{\sqrt{2}}{x})}^{6}$ 展开式中 $x^{2}$ 项的系数为.

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13. 已知 $f (x) = m e^{x} - x^{2}$ ，若 $f^{'} (x)$ 为奇函数，则 $m =$ .

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14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若 $2 \sin ∠ A B F_{2} = 3 \sin ∠ B A F_{2}$ ， $\cos ∠ A B F_{2} = - \frac{1}{8}$ ，则C的离心率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{5} = 85$ ，且 $a_{6} = 7 a_{1}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{5}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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16. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = A B = 2$ ，点 $E$ 是棱 $P C$ 上一点．

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、当 $E$ 为 $P C$ 中点时，求二面角 $A - B E - D$ 的正弦值．

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17. 已知F₁ ， F₂分别为椭圆W： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．

(1)、若点M的坐标为（1，m）（m>0），求△F₁MF₂的面积；

(2)、若点M的坐标为（x₀ ， y₀），且∠F₁MF₂是钝角，求横坐标x₀的范围．

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18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.

(1)、求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；

(2)、记参加活动的女生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及期望 $E (X)$ ；

(3)、若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为 $\frac{1}{2}$ ；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为 $\frac{1}{2}$ .每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为 $Y$ ，求 $Y$ 的期望 $E (Y)$ .

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19. 已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x} - x, (a \in R)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线为x轴，求a的值；

(2)、在（1）的条件下，判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、 $g (x) = (x^{2} - a x + 1) e^{x} - (\frac{1}{2} x^{2} + x + 1)$ ，若 $- 1$ 是 $g (x)$ 的极大值点，求a的取值范围.

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	喜欢课外阅读	不喜欢课外阅读	合计
男生	5	20	25
女生	15	10	25
合计	20	30	50

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828