湖南省永州市2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试卷

试卷更新日期：2024-07-08 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 $1 - 2 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）

A、互斥 B、相互对立 C、相互独立 D、相等

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3. 在杭州亚运会期间，共有1.8万多名赛会志愿者参与服务，据统计某高校共有本科生4400人，硕士生400人，博士生200人参与志愿者服务.现用分层抽样的方法从该高校志愿者中抽取部分学生了解服务心得，其中博士生抽取了10人，则本科生抽取的人数为（）

A、250 B、220 C、30 D、20

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $- \frac{7}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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5. 已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $\frac{3}{2} \vec{a}$ B、 $- \frac{3}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{a}$

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6. 若数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（）

A、数据 $4 x_{1} + 1, 4 x_{2} + 1, \dots, 4 x_{10} + 1$ 的平均数为13 B、数据 $3 x_{1}, 3 x_{2}, \dots, 3 x_{10}$ 的方差为12 C、 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 30$ D、 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 130$

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7. 已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ .已知平面内点 $A (0, 1)$ ，点 $B (\sqrt{2}, 1 - 2 \sqrt{2})$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(- 3, - 1)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(- 1, - 3)$

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8. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P为底面ABCD内一动点，直线 $D_{1} P$ 与平面ABCD所成角为 $\frac{π}{4}$ ， $E$ 为正方形 $A_{1} A D D_{1}$ 的中心，点 $M$ 为线段 $D_{1} B$ 上一动点，则 $M P + M E$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10 - 2 \sqrt{2}}$ B、 $\sqrt{10 - 4 \sqrt{2}}$ C、 $\sqrt{12 - 2 \sqrt{2}}$ D、 $\sqrt{12 - 4 \sqrt{2}}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知复数 $z_{1} = - 2 + a i$ ， $z_{2} = a - 4 i (a \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|z_{1}| < |z_{2}|$ B、存在实数 $a$ ，使得 $z_{1} z_{2}$ 为实数 C、若 $z_{1} + z_{2}$ 为纯虚数，则 $a = 2$ D、 ${(z_{1} + z_{2})}^{2} = {|z_{1} + z_{2}|}^{2}$

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10. 如图，连接正方体各个面的中心得到一个每个面都是正三角形的八面体，如果四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，则（）

A、异面直线 $A E$ 与 $D F$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ B、二面角 $A - E B - C$ 的平面角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ C、平面 $A E C ⊥$ 平面 $B F D E$ D、此八面体的外接球表面积为 $8 π$

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11. 已知点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，则下列命题正确的是（）

A、若 $P$ 为 $△ A B C$ 的垂心，且 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 3$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A C} = 3$ B、若 $\vec{P A} + 2 \vec{P B} + 3 \vec{P C} = \vec{0}$ ，则 $△ A B C$ 的面积与 $△ A B P$ 的面积之比为 $3 : 1$ C、若 $\vec{A P} = (\frac{1}{|\vec{A B}| \cos B} + \frac{1}{2}) \vec{A B} + (\frac{1}{|\vec{A C}| \cos C} + \frac{1}{2}) \vec{A C}$ ，则动点 $P$ 的轨迹经过 $△ A B C$ 的外心 D、若E，F，G分别为 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 的中点，且 $A C = B G = 2$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P C} = 0$ ，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的最大值为 $\frac{15}{4}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知事件 $A$ 与事件 $B$ 发生的概率分别为 $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.5$ ，且 $P (A \cap B) = 0.1$ ，则 $P (A \cup B) =$ .

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13. 已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为 $1 : 4$ ，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的 $\sqrt{5}$ 倍，则该圆台的体积为.

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14. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $c = 2 b \sin A$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 某市高一年级36000名学生参加了一次数学竞赛，为了解本次竞赛情况，随机抽取了500名学生的成绩，并根据这500名学生成绩，绘制频率分布直方图如图所示.

(1)、求a的值，并估计该市高一年级的及格（60分以上）人数；

(2)、估计该市高一年级学生成绩的 $71 %$ 分位数.

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16. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ .

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若 $t \in R$ ，求 $|\vec{a} - t \vec{b}|$ 的最小值.

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17. 甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.

(1)、用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由；

(2)、若选择方案一，求甲获胜的概率.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $A D // B C$ ，且 $A D = 2 B C$ ， $P A = P B = A D = 8$ ， $C D = 5$ ，点E，F分别为棱 $P D$ ， $A D$ 的中点.

(1)、若平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，
①求证： $P B ⊥ A D$ ；
②求三棱锥 $P - A B E$ 的体积；

(2)、若 $P C = 8$ ，请作出四棱锥 $P - A B C D$ 过点 $B$ ， $E$ ， $F$ 三点的截面，并求出截面的周长.

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19. 当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A M B = ∠ B M C = ∠ C M A = 120 °$ 的点 $M$ 为 $△ A B C$ 的“费马点”；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为 $△ A B C$ 的“费马点”.已知在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，P是 $△ A B C$ 的“费马点”.

(1)、若 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ， $B < C$ .
①求 $A$ ；
②设 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{3} + 6$ ，求 $\vec{|P A|} + \vec{|P B|} + \vec{|P C|}$ 的值；

(2)、若 $\cos^{2} B + \cos^{2} C - \cos^{2} A = 1$ ， $\vec{|P B|} + \vec{|P C|} = t \vec{|P A|}$ ，求实数 $t$ 的最小值.

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