广西南宁市西乡塘区、江南区2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2024-07-26 类型：期末考试

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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列图形中，能由如图所示的“笑脸”图形经过平移得到的是( )

A、 B、 C、 D、

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2. 下面图形中， $∠ 1 与 ∠ 2$ 是对顶角的图形是( )

A、 B、 C、 D、

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3. 下列调查，适宜采用全面调查的是( )

A、检测某城市的空气质量 B、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C、调查邕江中现有鱼的数量 D、检测“神舟十八号”载人航天飞船各零部件

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4. 如图，树叶盖住的点的坐标可能是( )

A、 $(6, - 4)$ B、 $(- 5,3)$ C、 $(5,3)$ D、 $(- 3, - 4)$

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5. 如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段 $P B$ ，理由是( )

A、两点之间，线段最短 B、垂线段最短 C、两点确定一条直线 D、过一点可以作无数条直线

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6. 若 $a > b$ ，则下列式子正确的是( )

A、 $a + 3 > b + 3$ B、 $a - 2 < b - 2$ C、 $- 2 b > - 2 a$ D、 $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$

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7. 如图，平行线 $a ， b$ 被直线 $c$ 所截，若 $∠ 1 = 45 °$ ，则 $∠ 2$ 等于( )

A、 $35 °$ B、 $65 °$ C、 $55 °$ D、 $45 °$

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8. 如图，数轴上有 $A ， B ， C ， D$ 四个点，其中最适合表示无理数 $\sqrt{2}$ 的点是( )

A、点 $A$ B、点 $B$ C、点 $C$ D、点 $D$

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9. 下列计算正确的是( )

A、 $\sqrt{16} = \pm 4$ B、 $\pm \sqrt{25} = 5$ C、 $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ D、 $\sqrt{(- 2)^{2}} = - 2$

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10. 我国古代数学著作 $《$ 孙子算经 $》$ 中有“鸡兔同笼”问题，书中记载：“今有鸡兔同笼，上有 $35$ 头，下有 $94 足 .$ 问：鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数有 $35$ 个头，从下面数有 $94$ 只脚 $.$ 问笼子里有鸡和兔各几只？设有 $x$ 只鸡，有 $y$ 只兔，根据题意可列方程组为( )

A、 $\{\begin{array}{l} x + y = 35 \\ 2 x + 4 y = 94 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x - y = 35 \\ 2 x + 4 y = 944 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x + y = 94 \\ 2 x + 4 y = 35 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x - y = 94 \\ 2 x - 4 y = 35 \end{array}$

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11. $2025$ 年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行，如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若 $A ， C$ 的坐标分别为 $(2,1) ， (0,2)$ ，则点 $B$ 的坐标为( )

A、 $(- 2,1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(1,2)$

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12. 不等式组 $\{\begin{array}{l} x - a \geq 0 \\ x - 3 (x - 2) > 2 \end{array}$ 的整数解共有 $4$ 个，则 $a$ 的取值范围是( )

A、 $a \leq - 2$ B、 $a > - 3$ C、 $- 3 < a < - 2$ D、 $- 3 < a \leq - 2$

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二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

13. 3的相反数是。

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14. “六一”几童节妈妈带着小明去看电影，小明坐在 $9 排 6$ 号位置，若用有序数对表示为 $(9,6)$ ，则小丽坐在 $5 排 3$ 号位置用有序数对表示为．

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15. 不等式组 $\{\begin{array}{l} x < 2 \\ x < - 1 \end{array}$ 的解集为．

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16. 为了解某市七年级学生的视力和用眼卫生情况，现从该市七年级学生中随机抽取 $1500$ 名学生的视力和用眼卫生情况进行调查 $.$ 则本次抽样调查的样本容量是．

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17. 如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波速 $A B 与 D C$ 平行射入接收天线，经反射聚集到焦点 $O 处 . 若 ∠ A B O = 37 ° ， ∠ D C O = 45 °$ ，则 $∠ B O C$ 的度数为 $° .$

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18. 甲乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品 $.$ 端午节期间，两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按 $8$ 折出售，乙商场对一次购物中超过 $100$ 元后的价格部分打 $7$ 折，当购买商品原价是元，去两个商场采购都一样．

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19. 计算： $- \frac{1}{4} \times (5 - 1) + \sqrt{4} \div 2$ ．

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20.

(1)、解方程组 $\{\begin{array}{l} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{array}$ ．

(2)、解不等式组 $\{\begin{array}{l} x + 2 > 0 \\ 2 x - 1 \leq 3 \end{array}$ ，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．

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21. 如图，将三角形 $A B C$ 向右平移 $5$ 个单位长度，再向上平移 $2$ 个单位长度 $.$ 请回答下列问题：

(1)、直接写出 $A ， B ， C$ 三个顶点的坐标；

(2)、画出平移后的三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、求三角形 $A B C$ 的面积．

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22. 为了全力构建全民反诈防诈新格局，坚决遏制电信网络诈骗违法犯罪多发高发势态，坚决维护人民群群众财产安全和合法权益，某市组织了七年级学生参加反诈防诈安全知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下的统计表和统计图 $($ 不完整 $)$ ：
组别
成绩 $x /$ 分
频数
$A$ 组
$40 \leq x < 55$
$3$
$B$ 组
$55 \leq x < 70$
$9$
$C$ 组
$70 \leq x < 85$
$m$
$D$ 组
$85 \leq x < 100$
$27$
请根据图表信息，解答以下问题；

(1)、一共抽取了个参赛学生的成绩，扇形统计图中“ $B$ ”对应的圆心角度数为 $°$ ；

(2)、请求出 $m$ 的值，并且补全频数分布直方图；

(3)、若成绩在 $85$ 分以上 $($ 包括 $85 分)$ 为“优秀”，请估计某市七年级将近 $58000$ 名学生在本次竞赛中获得“优秀”的人数．

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23. 数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于

180 ° .

下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程．

如图 $1 ， △ A B C$ 中的三个内角分别为 $∠ 1 ， ∠ 2 ， ∠ 3 . 将 ∠ 2 和 ∠ 3$ 撕下，按图 $2$ 的方式拼摆，使 $∠ 2 和 ∠ 3$ 的顶点均与 $∠ 1$ 的顶点重合， $∠ 2$ 的一边与 $A B$ 重合， $∠ 3$ 的一边与 $A C$ 重合．

理由：由操作可知 $∠ B = ∠ 2$ ，

所以 $A D / /$ $($ 依据： $) .$

同理， $∠ C = ∠ 3$ ，

所以，// ，

所以， $A D 、 A E$ 在同一直线上，

所以， $∠ D A E =$ $°$ ，

即 $∠ 1 +$ $+$ $=$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，已知三角形 $A B C$ ，点 $A$ 的坐标是 $(5,0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(3,2)$ ，点 $C 在 x$ 轴的负半轴，且 $A C = 6$ ．

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、在 $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得三角形 $P O B$ 的面积等于三角形 $A B C$ 的面积？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 近年来我国航天技术进入应用和发展新阶段：天问一号探访火星，空间站迎来“访客”，嫦娥六号月球背面取土壤 $. . . . .$ ，航天延续精彩，不断创新，积极面向星辰大海 $.$ 这给许多中学生在心中种下了一个航天梦 $.$ 某航模专卖店有 $A ， B$ 两款热销的航模玩具，以下是小红和小刘同学的一段对话：
小红：购买 $3 个 A$ 款航模玩具和 $4 个 B$ 款航模玩具需要 $620$ 元．
小刘：购买 $1 个 A$ 款航模玩具比购买 $1 个 B$ 款航模玩具多 $20$ 元．

(1)、求 $A ， B$ 两款航模玩具的单价；

(2)、某航模社计划购买 $A ， B$ 两款航模玩具共 $15 个 ($ 两款都购买 $)$ ，恰逢该航模专卖店周年店庆， $A$ 款航模玩具打八折， $B$ 款航模玩具打九折．
$①$ 若预算不超过 $1150$ 元，则最多购买 $A$ 款航模玩具多少个？
$②$ 若购买 $A$ 款航模玩具的数量不少于 $B$ 款航模玩具的 $3$ 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

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26. 综合与实践
【问题情境】数学课上，老师让同学们以“两条平行线 $M N ， P Q$ 和一块含 $60 °$ 角的直角三角尺 $A B C ($ 其中 $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A B C = 60 °)$ ”为背景开展数学活动，如图 $1$ ，将三角尺的点 $B$ 放置在直线 $P Q$ 某一定点处，直线 $A C$ 与直线 $M N$ 相交于点 $E$ ．

(1)、【操作探究】乐学小组的同学发现，如图 $1$ ，若 $∠ C B Q = 30 °$ ，则 $∠ A E N =$ ；

(2)、奋进小组的同学将三角尺 $A B C$ 绕点 $B$ 旋转至图 $2$ 时，若 $∠ C B Q = 30 °$ ，求 $∠ A E N$ 的度数；

(3)、【深入探究】博学小组继续探究，如图 $3$ ，如果 $P Q$ 不动，加大平行线之间的距离，使平行线之间的距离大于 $B C$ ，旋转三角尺 $A B C$ ，当点 $A$ 旋转到平行线之间，如果直线 $A C$ 与直线 $M N$ 相交于点 $E$ ，设 $∠ C B Q = α$ ，请直接写出 $∠ A E N$ 的度数 $($ 用含有 $α$ 的代数式表示，写出其中一种情况即可 $)$ ．

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组别	成绩 $x /$ 分	频数
$A$ 组	$40 \leq x < 55$	$3$
$B$ 组	$55 \leq x < 70$	$9$
$C$ 组	$70 \leq x < 85$	$m$
$D$ 组	$85 \leq x < 100$	$27$