河北省廊坊市多校联考2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试卷

试卷更新日期：2024-07-11 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $z = 3 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、10 C、 $2 \sqrt{5}$ D、20

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2. 已知直线 $a$ 与平面 $α$ 没有公共点，直线 $b \subset α$ ，则 $a$ 与 $b$ 的位置关系是（）

A、平行 B、异面 C、相交 D、平行或异面

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3. 若向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是（）

A、 $(\frac{2}{13}, - \frac{3}{13})$ B、 $(\frac{2}{13}, \frac{3}{13})$ C、 $(- \frac{2}{13}, \frac{3}{13})$ D、 $(- \frac{2}{13}, - \frac{3}{13})$

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4. 一组数据：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，则这组数据的 $85 %$ 分位数是（）

A、3 B、4 C、4.5 D、5

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5. 如图所示，在直角坐标系中，已知 $A (1, 0)$ ， $B (- 1, 2)$ ， $C (- 1, 0)$ ， $D (1, - 2)$ ，则四边形ABCD的直观图面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b sin B = c sin (A + B) - a sin A$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、钝角三角形

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7. 用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知 $A B = B C = C D = 2, A B ⊥ B C, A C ⊥ C D$ ，若 $\vec{D B} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{i^{20} + i}$ （ $i$ 为虚数单位），复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则下列结论正确的是（）

A、在复平面内复数 $z$ 所对应的点位于第四象限 B、 $\bar{z} = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $z \cdot \bar{z} = \frac{5}{2}$ D、 $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$

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10. 关于平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，下列说法不正确的是（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，且 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $△ A B C$ 的周长为 $3, B = 60 °$ ，则（）

A、若 $2 b = a + c$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形 B、存在非等边 $△ A B C$ 满足 $b^{2} = a c$ C、 $△ A B C$ 内部可以放入的最大圆的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、可以完全覆盖 $△ A B C$ 的最小圆的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知x、 $y \in R$ ，若 $(x - 2) + y i = - 1 + i$ ，则 $x + y =$ ．

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13. 已知平面内 $A, B, C$ 三点不共线，且点 $O$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O A} \cdot \vec{O C}$ ，则 $O$ 是 $△ A B C$ 的心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）

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14. 在三棱锥 $P - O A B$ 中，已知 $P O ⊥$ 平面OAB， $O P = 10$ ， $A B = 20$ ， $P A$ 与平面 $O A B$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ， $P B$ 与平面 $O A B$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，则 $∠ A O B =$ ．（用角度表示）

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用 $(x, y)$ 表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数.

(1)、写出该试验的样本空间；

(2)、指出 $\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\}$ 所表示的事件；

(3)、写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示.

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16. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D$ ．

(1)、证明：平面 $A_{1} B D$ ∥平面 $C D_{1} B_{1}$ ；

(2)、证明：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

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17. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $\cos C = \frac{2 a - c}{2 b}$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 3$ ， $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.

(1)、求图中a的值，并求综合评分的平均数；

(2)、用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；

(3)、已知落在 $[50, 60)$ 的平均综合评分是54，方差是3，落在 $[60, 70)$ 的平均综合评分为63，方差是3，求落在 $[50, 70)$ 的总平均综合评分 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P B = P D$ ， $P A ⊥ P C$ ，点E，F分别为棱 $A D$ ， $P C$ 的中点.

(1)、求证： $E F //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小为 $30 °$ .
①求二面角 $B - P A - D$ 的余弦值；
②求点F到平面 $P A B$ 的距离.

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