湖北省荆楚百校联盟考试2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-21 类型：期中考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 将一元二次方程 $x^{2} - 4 = 5 x$ 化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（）

A、1，5 B、1，－5 C、－4，5 D、－4，－5

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2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、赵爽弦图 B、笛卡尔心形线 C、科克曲线 D、斐波那契螺旋线

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3. $⊙ O$ 的直径为 $10 cm$ ，如果点P到圆心O的距离是d，则（）

A、当 $d = 8$ $cm$ 时，点P在 $⊙ O$ 内 B、当 $d = 10$ $cm$ 时，点P在 $⊙ O$ 上 C、当 $d = 5$ $cm$ 时，点P在 $⊙ O$ 上 D、当 $d = 4$ $cm$ 时，点P在 $⊙ O$ 外

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4. 在五千年的历史长河中，中华文化绚丽多彩从未断流，而“成语”则是中华文化的一大瑰宝，下列成语所描述的事件中，不可能事件是（）

A、百步穿杨 B、瓮中捉鳖 C、守株待兔 D、水中捞月

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5. 如图，将 $△ A B C$ 绕顶点C逆时针旋转角度α得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且点B刚好落在 $A^{'} B^{'}$ 上．若 $∠ A = 26 °$ ， $∠ B C A^{'} = 44 °$ ，则α等于（　　）

A、 $37 °$ B、 $38 °$ C、 $39 °$ D、 $40 °$

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6. “我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货平台“东方甄选”主播董宇辉在推销大米时的台词. 所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋.为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施. 据市场调查反映销售单价每降2元，则每分钟可多销售10袋，设每袋大米降价x元（x为偶数），若要平均每分钟获利4180元，则x满足（）

A、 $(x - 40) (100 + 10 \times \frac{80 - x}{2}) = 4180$ B、 $(80 - x - 40) (100 + 10 \times \frac{x}{2}) = 4180$ C、 $(x - 40) (100 + 10 \times \frac{x}{2}) = 4180$ D、 $(80 - x - 40) (100 + 10 \times \frac{80 - x}{2}) = 4180$

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7. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1$ （ $a$ 为常数，且 $a > 0$ ）的图象上有三点 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ ， $C (3 ， y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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8. 如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　）

A、50m B、45m C、40m D、60m

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9. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示. 下列结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③m为任意实数，则 $a + b > a m^{2} + b m$ ；④ $a - b + c > 0$ ；⑤若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{1}^{2} + b x_{2}$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ ；⑥ $3 a + c < 0$ . 其中正确的有（）个.

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（）

A、 $\frac{5}{2} \sqrt{10}$ B、 $\frac{7}{2} \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $\frac{11}{2} \sqrt{2}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 边长为6的正六边形的边心距为．

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12. 将二次函数 $y = {(x - 1)}^{2}$ 的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后顶点坐标为.

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13. 如图，若随机闭合开关 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为

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14. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，AC是 $⊙ O$ 的直径，若点P是 $⊙ O$ 上一点（不与B，C重合）， $∠ A C B = 38 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是.

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15. 如图，矩形纸片 $A B C D$ 中， $A D = 9 cm$ ，沿着虚线将其分割成正方形纸片 $A B F E$ 和矩形纸片 $E F C D$ 后，在正方形ABFE中裁出面积最大的扇形，在矩形 $E F C D$ 中裁出周长最大的圆，恰好可以作为一个圆锥的侧面和底面，则 $A B$ 的长为 $cm$ ．

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16. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．

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三、解答题（共8小题，共72分）

17. 解下列方程：

(1)、 $2 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ （配方法）

(2)、 $x^{2} - 7 x + 3 = 0$ （公式法）

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18. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若此方程的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} = 9$ ，求 $m$ 的值．

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19. 为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题

(1)、参加问卷调查的学生共有人；

(2)、条形统计图中m的值为，扇形统计图中 $α$ 的度数为；

(3)、根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有人；

(4)、现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

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20. 已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位，再向左平移1个单位得到的△A₁B₁C₁ ，并直接写出C₁点的坐标；
（2）画出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的△A₂B₂C₂ ，并直接写出C₂点的坐标；
（3）请求出（2）中△ABC旋转过程中所扫过的面积为．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D是 $A B$ 边的中点，点O在 $A C$ 边上， $⊙ O$ 经过点C且与 $A B$ 边相切于点E， $∠ F A C = \frac{1}{2} ∠ B D C$ ．

(1)、求证： $A F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 6, A B = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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22. 如图，排球运动员站在点 $O$ 处练习发球，将球从 $O$ 点正上方的 $B$ 处发出．球每次出手后的运动路径都是形状相同的抛物线，且抛物线的最高点 $C$ 到 $y$ 轴总是保持 $6$ 米的水平距离，竖直高度总是比出手点 $B$ 高出 $1$ 米．已知 $O B = m$ 米，排球场的边界点 $A$ 到 $O$ 点的水平距离 $O A = 18$ 米，球网高度 $E F = 2.4$ 米，且 $O E = \frac{1}{2} O A$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求排球运动路径的抛物线解析式；

(2)、当 $m = 2$ 时，排球能否越过球网？是否出界？请说明理由；

(3)、若该运动员调整起跳高度，使球在点 $A$ 处落地，此时形成的抛物线记为 $L_{1}$ ，球落地后立即向右弹起，形成另一条与 $L_{1}$ 形状相同的抛物线 $L_{2}$ ，且此时排球运行的最大高度为 $1$ 米，球场外有一个可以移动的纵切面为梯形的无盖排球回收框 $M N P Q ($ $∠ Q M N = ∠ P N M = 90 °$ $)$ ，其中 $M Q = 0.5$ 米， $M N = 2$ 米， $N P = \frac{8}{9}$ 米．若排球经过向右反弹后沿 $L_{2}$ 的路径落入回收框 $M N P Q$ 内 $($ 球下落过程中碰到点 $P$ ， $Q$ 均视为落入框内 $)$ ．设点 $M$ 的横坐标为 $t$ ，则 $t$ 的取值范围是______(直接写出结果)．

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23. 如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB²+CD²＝AD²+BC² ．
（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝ $2 \sqrt{3}$ ，则S_△_ABC＝．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，连接BC， $O A = 1$ ， $O B = 5$ ，点D是此抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的解析式及点D坐标；

(2)、点E是第一象限内抛物线上的动点，连接 $B E$ 和 $C E$ ，求 $△ B C E$ 面积的最大值及此时点E的坐标；

(3)、在（2）的条件下，当 $△ B C E$ 的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接 $M E$ ， $B P$ ，探究 $E M + M P + P B$ 是否存在最小值，若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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